FUVEST 1988
Resolução
Para determinar os valores de \(m\) para os quais a reta \(y = mx\) encontra a curva \(y = x^3 + 6x^2 + 7x\) em um único ponto, precisamos encontrar o número de soluções reais da equação formada pela igualdade das duas expressões de \(y\).
Igualando as equações:
\[mx = x^3 + 6x^2 + 7x\]Agora, reorganizamos a equação para que todos os termos fiquem de um lado:
\[x^3 + 6x^2 + 7x - mx = 0\]Podemos agrupar os termos com \(x\):
\[x^3 + 6x^2 + (7 - m)x = 0\]Fatoramos \(x\) da expressão:
\[x(x^2 + 6x + (7 - m)) = 0\]Esta equação nos mostra que uma das soluções é \(x = 0\). Isso significa que o ponto (0,0) é sempre um ponto de interseção, pois para \(x=0\), \(y = m(0) = 0\) (para a reta) e \(y = 0^3 + 6(0)^2 + 7(0) = 0\) (para a curva).
Para que haja um único ponto de interseção, a solução \(x = 0\) deve ser a única solução real desta equação. Isso significa que a equação quadrática \(x^2 + 6x + (7 - m) = 0\) não deve ter soluções reais.
Uma equação quadrática da forma \(ax^2 + bx + c = 0\) não possui soluções reais se o seu discriminante, \(\Delta = b^2 - 4ac\), for negativo (\(\Delta < 0\)).
Para a equação quadrática \(x^2 + 6x + (7 - m) = 0\), temos:
- \(a = 1\)
- \(b = 6\)
- \(c = (7 - m)\)
Calculamos o discriminante \(\Delta\):
\[\Delta = 6^2 - 4(1)(7 - m)\]\[\Delta = 36 - 4(7 - m)\]\[\Delta = 36 - 28 + 4m\]\[\Delta = 8 + 4m\]Para que a equação quadrática não tenha soluções reais, o discriminante deve ser menor que zero:
\[8 + 4m < 0\]Resolvemos a inequação para \(m\):
\[4m < -8\]\[m < \frac{-8}{4}\]\[m < -2\]Se \(m < -2\), o discriminante \(\Delta\) é negativo, o que significa que a equação quadrática \(x^2 + 6x + (7 - m) = 0\) não tem raízes reais. Portanto, \(x = 0\) é a única raiz real da equação cúbica \(x(x^2 + 6x + (7 - m)) = 0\). Isso garante que a reta e a curva se encontram em um único ponto, que é a origem (0,0).
É importante verificar se a equação quadrática poderia ter \(x=0\) como uma de suas raízes, e se isso alteraria a contagem de pontos de interseção distintos. Se \(x=0\) fosse uma raiz de \(x^2+6x+(7-m)=0\), então \(0^2+6(0)+(7-m)=0\), o que levaria a \(7-m=0\), ou \(m=7\). Se \(m=7\), a equação quadrática se torna \(x^2+6x=0\), que fatura como \(x(x+6)=0\). As raízes são \(x=0\) e \(x=-6\). Nesse caso, a equação cúbica original \(x(x^2+6x+(7-m))=0\) torna-se \(x(x(x+6))=0\), ou \(x^2(x+6)=0\). As raízes são \(x=0\) (raiz dupla) e \(x=-6\). Isso significa que para \(m=7\), há dois pontos de interseção distintos: (0,0) e (-6, -42). Portanto, \(m=7\) não resulta em um único ponto de interseção.
Concluímos que a condição para que haja um único ponto de interseção é \(m < -2\).
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, são importantes os seguintes conceitos:
- Interseção de Curvas: Os pontos de interseção entre duas curvas são encontrados resolvendo o sistema de equações formado pelas equações das curvas. Geralmente, isso envolve igualar as expressões de \(y\) e resolver a equação resultante para \(x\).
- Equações Polinomiais: A equação resultante da igualdade das funções é uma equação polinomial. O número de raízes reais distintas dessa equação corresponde ao número de pontos de interseção.
- Fatoração: Fatorar a equação polinomial ajuda a encontrar suas raízes.
- Equação Quadrática e Discriminante: Para uma equação quadrática \(ax^2 + bx + c = 0\), o discriminante é \(\Delta = b^2 - 4ac\).
- Se \(\Delta > 0\), a equação tem duas raízes reais distintas.
- Se \(\Delta = 0\), a equação tem uma raiz real dupla.
- Se \(\Delta < 0\), a equação não tem raízes reais (tem duas raízes complexas conjugadas).
