ENEM 2016 terceira aplicação
Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler V- A + F = 2, em que V, A e F são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente.
Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces?
2 V- 4F = 4
2 V- 2F = 4
2 V- F = 4
2 V + F = 4
2 V+ 5F= 4
Resolução
Para resolver esta questão, precisamos usar a Relação de Euler para poliedros convexos e as informações fornecidas sobre o poliedro de Platão em questão.
1. Relação de Euler: A questão nos fornece a Relação de Euler: \( V - A + F = 2 \), onde \(V\) é o número de vértices, \(A\) é o número de arestas e \(F\) é o número de faces.
2. Informação sobre as faces: O problema afirma que o poliedro tem faces triangulares. Isso significa que cada face tem 3 arestas.
3. Relação entre Arestas e Faces (A e F): Se somarmos o número de arestas de todas as faces, obtemos \(3F\). No entanto, cada aresta do poliedro é compartilhada por exatamente duas faces (conforme a definição de poliedro e explicitado no texto base). Portanto, ao somar as arestas face por face, contamos cada aresta duas vezes. Assim, temos a relação: \( 2A = 3F \).
4. Expressar A em função de F: Da relação \( 2A = 3F \), podemos isolar \(A\): \( A = \frac{3F}{2} \).
5. Substituir A na Relação de Euler: Agora, substituímos a expressão de \(A\) na Relação de Euler \( V - A + F = 2 \):
\[ V - \left(\frac{3F}{2}\right) + F = 2 \]
6. Simplificar a equação: Para eliminar a fração, podemos primeiro combinar os termos com \(F\):
\[ V - \frac{3F}{2} + \frac{2F}{2} = 2 \]\[ V - \frac{F}{2} = 2 \]
7. Multiplicar por 2 para eliminar o denominador: Multiplicamos toda a equação por 2:
\[ 2 \times \left( V - \frac{F}{2} \right) = 2 \times 2 \]\[ 2V - F = 4 \]
Portanto, a relação entre o número de vértices (V) e o número de faces (F) para um poliedro de Platão com faces triangulares é \( 2V - F = 4 \).
Conclusão: A alternativa correta é a C.
Dicas
Erros Comuns
Poliedros Convexos: São sólidos geométricos tridimensionais limitados por faces planas poligonais, onde qualquer segmento de reta que une dois pontos do interior do poliedro está inteiramente contido nele.
Sólidos de Platão: São poliedros convexos especiais que satisfazem três condições: (1) Todas as faces são polígonos regulares congruentes (mesmo tipo e tamanho). (2) O mesmo número de arestas se encontra em cada vértice. (3) Cada aresta é compartilhada por exatamente duas faces.
Relação de Euler para Poliedros Convexos: Para qualquer poliedro convexo, a relação entre o número de vértices (V), arestas (A) e faces (F) é dada pela fórmula de Euler: \( V - A + F = 2 \).
Relação entre Arestas e Faces: Em um poliedro, se cada face é um polígono regular de \(n\) lados (ou \(n\) arestas), e há \(F\) faces no total, a soma das arestas contadas face a face é \(nF\). Como cada aresta (A) é compartilhada por exatamente duas faces, temos a relação \( 2A = nF \). No caso desta questão, as faces são triangulares, então \(n=3\), levando a \( 2A = 3F \).
