UnB 2017
Os Simpsons, uma série de animação americana criada por Matt Groening, diverte uma legião de fãs em todo o mundo há mais de 25 anos. Considerando os personagens dessa série e aspectos a eles relacionados, julgue o próximo item.
Sabe-se que, na abertura clássica do seriado, os 5 membros da família, sendo um deles uma bebê, correm para se sentar em um sofá de 4 lugares diante da TV. Nesse caso, se a bebê sempre sentará no colo de um dos outros quatro membros da família, a quantidade de fotografias distintas que poderão ser tiradas da família sentada no sofá é inferior a 50.
Certa
Errada
Resolução
Seja o sofá numerado da esquerda para a direita como lugares 1, 2, 3 e 4. Como Maggie (o bebê) sentará no colo de exatamente um dos demais quatro membros, temos de:
escolher em qual integrante ela ficará no colo;
definir em que lugar do sofá ficará o integrante que carrega Maggie;
dispor nos três lugares restantes os outros três membros da família.
Passo 1 – Escolher o “carregador”
Há 4 possibilidades (Homer, Marge, Bart ou Lisa).
Passo 2 – Escolher o lugar desse carregador
Qualquer um dos 4 lugares do sofá pode recebê-lo.
Passo 3 – Distribuir os demais
Restam 3 lugares e 3 pessoas distintas ⇒ 3 ! = 6 formas.
Aplicando o princípio multiplicativo, obtém-se inicialmente
4 × 4 × 6 = 96 configurações.
No entanto, duas fotos que diferem apenas por uma inversão esquerda-direita (por exemplo, a família "+Homer à extrema esquerda+" e "+Homer à extrema direita+") podem ser consideradas a mesma fotografia, pois bastaria virar (espelhar) a imagem para obter a outra. Como não existe nenhuma disposição que seja idêntica ao ser refletida (os quatro ocupantes são distintos), cada fotografia foi contada exatamente duas vezes. Logo, o número efetivo de fotos distintas é
\[\frac{96}{2}=48.\]
Como 48 < 50, a afirmação do item está correta.
Resposta: A (Certa).
Dicas
Erros Comuns
- Permutação simples: a disposição de n elementos distintos em ordem → n ! maneiras.
- Princípio multiplicativo: se uma tarefa se desdobra em etapas independentes, multiplica-se a quantidade de possibilidades de cada etapa.
- Contagem com simetria: quando uma configuração é equivalente a outra por simetria (espelhamento, rotação etc.), divide-se pelo número de vezes que cada caso foi contado.
