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IFNMG 2016
Os respectivos valores de a, b, c, d para que sejam idênticos os polinômios P(x) = (a+2)x³ + (b–1)x² + cx + 3 e Q(x) = ax² + 2x – d + 1, são:
a
-2, -2, -1, 2
b
-1, 2, -2, -2
c
2, -2, -2, -1
d
-2, -1, 2, -2
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Resposta
D
Resolução
Para que dois polinômios sejam idênticos, os coeficientes de cada potência de \(x\) devem ser iguais termo a termo.
Dados:
- \(P(x)= (a+2)x^{3} + (b-1)x^{2} + cx + 3\)
- \(Q(x)= ax^{2} + 2x - d + 1\)
Comparando potência a potência:
- Termo cúbico:
\[(a+2)=0 \Rightarrow a = -2\] - Termo quadrático:
\[b-1=a \Rightarrow b-1=-2 \Rightarrow b=-1\] - Termo linear:
\[c = 2\] - Termo constante:
\[3=-d+1 \Rightarrow -d=2 \Rightarrow d=-2\]
Logo, \((a,b,c,d)=(-2,-1,2,-2)\).
A alternativa correta é a letra D.
Dicas
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Observe que Q(x) não tem termo em x³; o coeficiente de x³ em P(x) precisa ser zero.
Depois de encontrar a, compare o termo em x² para descobrir b.
Use o termo constante para obter d.
Erros Comuns
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Esquecer que Q(x) não possui termo cúbico e, portanto, o coeficiente cúbico de P(x) deve ser zero.
Não considerar o sinal ao resolver a equação do termo constante (3 = -d + 1).
Confundir ordem dos coeficientes e trocar b por c.
Revisão
Conceitos-chave
- Polinômios idênticos: Dois polinômios são idênticos se apresentam os mesmos coeficientes para cada potência de \(x\); isto vale para todos os valores de \(x\).
- Comparação de coeficientes: Para igualar polinômios, escrevemos ambos na mesma ordem (grau decrescente) e igualamos os coeficientes dos termos correspondentes.
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