EsPCEx 2012

Primeiro, precisamos identificar as coordenadas de P e Q a partir do desenho do círculo trigonométrico (raio 1).

1. Ponto P
    • A linha horizontal tracejada mostra que sua ordenada é \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
    • Pelo desenho, P está no 1.º quadrante (x>0, y>0).
    ⇒ \(P\bigl(\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{\sqrt{2}}{2}\bigr)\).
    • Logo o arco \(\alpha\) mede \(45^{\circ}\) (ou \(\frac{\pi}{4}\)).
2. Ponto Q
    • A marcação "\(-\tfrac12\)" indica que sua ordenada é \(-\tfrac12\).
    • Na figura, Q está no 4.º quadrante (x>0, y<0). Como \(x^2+y^2=1\), temos
   \[x^2+\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2=1 \;\Longrightarrow\; x=\frac{\sqrt3}{2}.\]
    ⇒ \(Q\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2},\,-\tfrac12\bigr)\).
    • Assim, o arco \(\beta\) mede \(330^{\circ}\) (ou \(\tfrac{11\pi}{6}\)), pois parte de (1,0) e gira \(330^{\circ}\) no sentido anti-horário até Q.

Agora calculamos \(\tan(\alpha+\beta)\).

\(\tan\alpha=\tan45^{\circ}=1\) e \(\tan\beta=\tan330^{\circ}=\tan(-30^{\circ})=-\dfrac{\sqrt3}{3}.\)

Pela fórmula da tangente da soma de arcos:

\[\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\,\tan\beta}=\frac{1-\tfrac{\sqrt3}{3}}{1-1\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{3}\bigr)}=\frac{\dfrac{3-\sqrt3}{3}}{\dfrac{3+\sqrt3}{3}}=\frac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3}.\]

Racionalizando:

\[\tan(\alpha+\beta)=\frac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3}\cdot\frac{3-\sqrt3}{3-\sqrt3}=\frac{(3-\sqrt3)^2}{3^2-(\sqrt3)^2}=\frac{12-6\sqrt3}{6}=2-\sqrt3.\]

Portanto,

\(\boxed{\tan(\alpha+\beta)=2-\sqrt3}\)

Logo a alternativa correta é a D.