UNCISAL 2015

[...] Os pitagóricos chamavam de triangulares todos os números que podem ser escritos como a soma de uma sequência de inteiros consecutivos começando pelo 1. Assim o 3 é triangular porque 3 = 1 + 2. O 6 também é triangular porque 6 = 1 + 2 + 3. O número 10 também é triangular porque 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Continuando um pouco a sequência de números triangulares, que é infinita: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15; 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 [...]. Por que chamar estes números de triangulares? Porque eles podem ser representados como triângulos de pontos. Por exemplo:

Considerando o estabelecido acima, qual é o centésimo termo da sequência dos números triangulares (3, 6, 10, 15, 21, ...)?

3 434

5 050

5 151

10 100

10 302

Ver resposta

Resposta

Resolução

\[ T_n = \frac{n(n+1)}{2} \] Como a sequência apresentada começa em 3 (que é \(T_2\)):

Termo 1 → \(n = 2\)
Termo k → \(n = k + 1\)

Para o 100º termo (\(k = 100\)): \[ n = 100 + 1 = 101\quad\Longrightarrow\quad T_{101} = \frac{101\cdot 102}{2} = \frac{10302}{2} = 5\,151. \] Logo, o centésimo termo é 5 151 (alternativa C).

Dicas

Recorde a fórmula T_n = n(n+1)/2.

O primeiro termo da lista (3) é T_2.

Se o 1º termo corresponde a n = 2, qual n corresponde ao 100º termo?

Erros Comuns

Esquecer que a sequência começa em T₂ e usar n = 100 (gera 5 050).

Aplicar a fórmula sem dividir por 2 (gera 10 302).

Usar n = 83 por confusão na contagem de termos.

Revisão

Números triangulares

São obtidos pela soma dos n primeiros números inteiros positivos.

\[ T_n = 1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}. \]

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