PUC-Rio 2021
Os lados do triângulo ABC têm os seguintes comprimentos: AB tem comprimento 17, AC tem comprimento 34 e BC tem comprimento 38.
Qual afirmação sobre o ângulo  = BAC é correta?
O ângulo  é reto. x
O ângulo  é agudo e maior do que 60°.
O ângulo  é menor ou igual a 60°.
O ângulo  é obtuso.
Resolução
Para determinar o tipo de ângulo no vértice \(A\) de um triângulo de lados conhecidos, usa-se a lei dos cossenos:
\[\cos \widehat A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\]
onde:
- \(a = BC = 38\)
- \(b = AC = 34\)
- \(c = AB = 17\)
Substituindo:
\[\cos \widehat A = \frac{17^{2}+34^{2}-38^{2}}{2\cdot17\cdot34}=\frac{289+1156-1444}{1156}=\frac{1}{1156}\]
Como \(\tfrac{1}{1156}\approx0{,}000865>0\), o cosseno é positivo, logo \(\widehat A\) é agudo (< 90°). Esse valor é muito pequeno, portanto o ângulo está bem próximo de 90°, logo certamente supera 60°:
\[\widehat A \approx \arccos(0{,}000865) \approx 89{,}95^{\circ}>60^{\circ}.\]
Assim, a afirmação correta é:
Opção B – O ângulo  é agudo e maior do que 60°.
Dicas
Erros Comuns
- Lei dos cossenos: relaciona os três lados de um triângulo a um de seus ângulos; generaliza o teorema de Pitágoras.
- Sinal do cosseno: • positivo ⟹ ângulo agudo; • zero ⟹ ângulo reto; • negativo ⟹ ângulo obtuso.
- Classificação de ângulos: agudo (<90°), reto (=90°), obtuso (>90°).
