UCPEL Fevereiro 2009
Os lados de um triângulo retângulo estão em P.A. de razão 3. Então, os valores dos lados são
12, 15, 18
3, 6, 9
6, 9, 12
9, 12, 15
2, 5, 8
Resolução
Se os três lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética (P.A.) de razão 3, podemos representá-los por \(a-3\), \(a\) e \(a+3\), em que \(a\) é o termo central.
Como se trata de um triângulo retângulo, o maior lado (hipotenusa) satisfaz o teorema de Pitágoras:
\[(a+3)^2 = (a)^2 + (a-3)^2.\]
Desenvolvendo:
\[a^2 + 6a + 9 = a^2 + a^2 - 6a + 9.\]
Isolando os termos:
\[a^2 + 6a + 9 = 2a^2 - 6a + 9.\]
Subtraindo \(a^2 + 6a + 9\) nos dois membros:
\[0 = a^2 - 12a.\]
\[a(a - 12) = 0 \;\Rightarrow\; a = 0 \;\text{ou}\; a = 12.\]
O valor \(a = 0\) é inviável para medir lados, então \(a = 12\).
Logo, os lados são:
\[(a-3,\,a,\,a+3) = (9,\,12,\,15).\]
Esses valores aparecem na alternativa D.
Dicas
Erros Comuns
- Progressão Aritmética (P.A.): sequência em que cada termo (a partir do segundo) é obtido somando a mesma constante, chamada de razão.
- Teorema de Pitágoras: em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
- Modelagem algébrica: representar grandezas desconhecidas por letras facilita resolver equações e verificar condições.
