UFRGS HIS MAT 2013
Resolução
Seja a o lado do losango. Como todos os lados medem 4, temos a = 4. Seja \(\alpha=30^\circ\) um dos ângulos internos.
Num losango, as diagonais podem ser obtidas aplicando a lei dos cossenos em dois triângulos isósceles formados por dois lados consecutivos e a diagonal oposta. Para o ângulo \(\alpha\), a diagonal oposta a esse ângulo é a diagonal menor (chamaremos de \(d_m\)).
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo isósceles de lados \(a,a\) e ângulo incluso \(\alpha\):
\[d_m^2 = a^2 + a^2 -2a^2\cos\alpha = 2a^2\bigl(1-\cos\alpha\bigr).\]
É conveniente escrever isso em função de \(\alpha/2\). Sabemos que \(1-\cos\alpha = 2\sin^2\frac\alpha2\). Logo
\[d_m^2 = 2a^2\cdot 2\sin^2\frac\alpha2 = 4a^2\sin^2\frac\alpha2\;\Longrightarrow\; d_m = 2a\sin\frac\alpha2.\]
Substituindo os dados do problema:
\[d_m = 2\cdot4\,\sin15^\circ = 8\,\sin15^\circ.\]
Calculemos \(\sin15^\circ\). Podemos usar a fórmula de ângulos notáveis:
\[\sin15^\circ = \sin(45^\circ-30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\;- \;\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt2}{4}\bigl(\sqrt3-1\bigr).\]
Então
\[d_m = 8\cdot\frac{\sqrt2}{4}\bigl(\sqrt3-1\bigr)=2\sqrt2\,(\sqrt3-1)=2\sqrt6-2\sqrt2.\]
Uma forma algébrica equivalente, mais “compacta”, é usar meia-diferença dentro de uma raiz:
\[2\sqrt6-2\sqrt2 = 4\sqrt{2-\sqrt3}.\]
Essa é exatamente a alternativa apresentada na opção C.
Dicas
Erros Comuns
- Losango: quadrilátero com quatro lados iguais.
- Lei dos cossenos: em um triângulo com lados a, b, c e ângulo oposto a c igual a \(\gamma\), vale \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\).
- Meia-diferença → sen(Â/2): \(1-\cos\alpha = 2\sin^2\frac\alpha2\).
- Ângulos notáveis: \(\sin15^\circ = (\sqrt6-\sqrt2)/4\).
