UNISC Medicina 2014/2

Seja ABCD um losango de lado \(s = 4\,\text{cm}\) e com um dos ângulos internos igual a \(60^\circ\). Denotemos as diagonais por \(d_1\) (menor) e \(d_2\) (maior).

1. Relação entre lado e diagonais

As diagonais de um losango:

• são perpendiculares (formam 90°),
• se cruzam nos seus pontos médios.

Portanto cada diagonal é dividida ao meio pelo ponto de interseção. Assim, cada lado do losango é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos valem \(\dfrac{d_1}{2}\) e \(\dfrac{d_2}{2}\).

Aplicando o teorema de Pitágoras nesse triângulo:

\[\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = s^2 = 4^2 = 16.\] \[\frac{d_1^{2}+d_2^{2}}{4}=16 \;\;\Longrightarrow\;\; d_1^{2}+d_2^{2}=64.\tag{1}\]

2. Relação usando o ângulo de 60°

As diagonais também bisecam os ângulos internos. Logo a diagonal maior \(d_2\) divide o ângulo de \(60^\circ\) em dois ângulos de \(30^\circ\).

Considere o triângulo formado por dois lados adjacentes do losango e pela diagonal maior \(d_2\). Esse triângulo é isósceles (lados iguais medindo 4 cm) e possui ângulo entre eles de \(60^\circ\).

Aplicando a Lei dos Cossenos:

\[d_2^2 = 4^2 + 4^2 - 2\cdot 4\cdot4\cdot\cos60^\circ.\]

Como \(\cos60^\circ = \dfrac{1}{2}\), segue:

\[d_2^2 = 16+16-2\cdot16\cdot\dfrac12 = 32-16 = 16,\] \[\boxed{d_2 = 4\,\text{cm}}.\]

3. Encontrando a outra diagonal

Substituindo \(d_2=4\) na equação (1):

\[d_1^{2}+4^{2}=64\;\Longrightarrow\; d_1^{2} = 64-16 = 48.\] \[d_1 = \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3\,\text{cm}.\]

Como \(4\sqrt3 > 4\), concluímos que:

• Diagonal menor: \(4\,\text{cm}\)
• Diagonal maior: \(4\sqrt3\,\text{cm}\)

4. Resposta

As medidas são, respectivamente, \(4\,\text{cm}\) e \(4\sqrt3\,\text{cm}\). Alternativa D.