EsPCEx 2020

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Considere o triângulo \(ABC\) com

• \(AB = 4\,\text{cm}\)
• \(AC = 4\,\text{cm}\)
• \(BC = 6\,\text{cm}\)

A mediana relativa ao lado \(AB\) parte do vértice oposto (\(C\)) até o ponto médio \(M\) de \(AB\). Seu comprimento é indicado por \(m_{AB}\).

1. Fórmula da mediana

Para um triângulo com lados

• \(a = BC\)
• \(b = AC\)
• \(c = AB\)

a mediana relativa ao lado \(c\) vale

\[ m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}. \]

2. Substituindo os valores

Como queremos a mediana relativa a \(AB\), temos:

• \(c = AB = 4\)
• \(a = BC = 6\)
• \(b = AC = 4\)

Logo,

\[ \begin{aligned} m_{AB} &= \frac{1}{2}\sqrt{2(6)^2 + 2(4)^2 - (4)^2} \\[4pt] &= \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot36 + 2\cdot16 - 16} \\[4pt] &= \frac{1}{2}\sqrt{72 + 32 - 16} \\[4pt] &= \frac{1}{2}\sqrt{88} \\[4pt] &= \frac{1}{2}\sqrt{4\cdot22} \\[4pt] &= \frac{1}{2}\,2\sqrt{22} \\[4pt] &= \sqrt{22}. \end{aligned} \]

3. Resposta

A mediana relativa ao lado \(AB\) mede \(\boxed{\sqrt{22}\,\text{cm}}\).