Albert Einstein 2022
Os fatores do produto P obedecem sempre o mesmo padrão descrito:
P = log2 3 ⋅ log3 4 ⋅ log4 5 ⋅ ... ⋅ log2021 2022
Nessa condição, P é um número real entre
12 e 13.
3 e 4.
1 e 2.
10 e 11.
7 e 8.
Resolução
Resolução passo a passo
O produto proposto é
\[P=\log_{2}3\,\cdot\,\log_{3}4\,\cdot\,\log_{4}5\,\cdot\;\ldots\;\cdot\,\log_{2021}2022.\]
1. Transformar cada logaritmo para a mesma base
Escreva cada termo em base natural (ou qualquer base comum) usando a mudança de base:
\[\log_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}.\]
Aplicando isso a todos os fatores, temos
\[P=\frac{\ln 3}{\ln 2}\,\cdot\,\frac{\ln 4}{\ln 3}\,\cdot\,\frac{\ln 5}{\ln 4}\,\cdot\;\ldots\;\cdot\,\frac{\ln 2022}{\ln 2021}.\]
2. Cancelamento telescópico
Observe que cada numerador \(\ln k\) cancela com o denominador \(\ln k\) do termo seguinte:
\[\cancel{\ln 3}\,\cdot\,\cancel{\ln 4}\,\cdot\,\cancel{\ln 5}\,\cdot\;\ldots\;\cdot\,\cancel{\ln 2021}.\]
Restam apenas \(\ln 2022\) no numerador e \(\ln 2\) no denominador:
\[P=\frac{\ln 2022}{\ln 2}=\log_{2}2022.\]
3. Estimar o valor de \(\log_{2}2022\)
Sabemos que
\[2^{10}=1024 \quad\text{e}\quad 2^{11}=2048.\]
Como \(2022\) está entre \(1024\) e \(2048\), temos
\[10 < \log_{2}2022 < 11.\]
4. Conclusão
Portanto, \(P\) é um número real situado entre 10 e 11, o que corresponde à alternativa D.
Dicas
Erros Comuns
- Mudança de base de logaritmos: \(\log_{a}b=\dfrac{\ln b}{\ln a}\).
- Produtos telescópicos: formato em que fatores consecutivos se cancelam, restando apenas o primeiro denominador e o último numerador.
- Potências de 2 conhecidas: \(2^{10}=1024\), \(2^{11}=2048\) ajudam a estimar logaritmos em base 2.
