UFMS PASSE Etapa 3 2017 2019
Os estudos dos polinômios são fundamentais na área da Matemática. Assim, ao se estudar esse campo, pode ser proposto que, para dois polinômios M(x) e N(x), são tais que M(x) + N(x) é de grau 8 e que M(x) - N(x) é igual a 3.
Então, ao fazer M(x) · N(x), obtém-se um polinômio de grau:
4.
5.
8.
11.
16.
Resolução
Sejam \(M(x)\) e \(N(x)\) polinômios. São fornecidas as duas informações centrais:
- \(M(x)+N(x)\) é de grau 8.
- \(M(x)-N(x)=3\), ou seja, um polinômio constante (grau 0).
1. Relacionando os dois polinômios
Da segunda condição,
\[M(x)-N(x)=3\;\;\Rightarrow\;\;M(x)=N(x)+3.\]
Adicionar ou subtrair uma constante não altera o grau de um polinômio (a menos de todos serem constantes, o que não é o caso, pois há grau 8 envolvido). Assim,
\[\deg M=\deg N=d.\]
2. Usando o grau da soma
Substituindo \(M\) em \(M+N\):
\[M(x)+N(x)=\bigl(N(x)+3\bigr)+N(x)=2N(x)+3.\]
O termo constante “3” não interfere no grau, logo
\[\deg\bigl(M+N\bigr)=\deg\bigl(2N(x)\bigr)=\deg N=d.\]
Mas o enunciado afirma que esse grau é 8. Portanto
\[d=8\quad\Longrightarrow\quad \deg M=\deg N=8.\]
3. Grau do produto
A regra geral para o grau do produto é
\[\deg\bigl(M\cdot N\bigr)=\deg M+\deg N.\]
Logo,
\[\deg\bigl(M\cdot N\bigr)=8+8=16.\]
Resposta: 16 (alternativa E).
Dicas
Erros Comuns
- Grau de um polinômio: é o maior expoente de \(x\) com coeficiente não nulo.
- Soma ou subtração: o grau pode cair se os termos de maior grau se anularem; ao somar/subtrair apenas uma constante, o grau permanece.
- Produto de polinômios: o grau é a soma dos graus (desde que ambos tenham coeficientes líderes não nulos).
- Igualdade de polinômios: se dois polinômios são iguais, seus coeficientes de cada potência de \(x\) são iguais.
