EPCAR 2012
Os círculos abaixo têm centros fixos em C1, C2, C3 e se tangenciam conforme a figura. Eles giram conforme a direção das setas, e não derrapam nos pontos de contato. Num certo momento, os pontos A e B das circunferências de centros C1 e C2 se encontram no ponto de tangência. A partir desse momento até A e B se encontrarem novamente, o número de voltas dadas pelo círculo de centro em C3 é
11
\(11\frac{1}{3}\)
\(11\frac{2}{3}\)
12
Resolução
Seja r1=7 cm o raio do círculo de centro C1, r2=5 cm o raio do círculo de centro C2 e r3=3 cm o raio do círculo interno de centro C3.
1. Relação entre as velocidades angulares
Como os círculos giram sem derrapar nos pontos de contato:
- Contato externo C1–C2 (rolamento externo)
\[r_1\,\omega_1=r_2\,\omega_2\quad\Rightarrow\quad\dfrac{\omega_1}{\omega_2}=\dfrac{r_2}{r_1}=\dfrac{5}{7}.\] - Contato interno C1–C3 (rolamento interno, mesmos sentidos)
\[r_1\,\omega_1=r_3\,\omega_3\quad\Rightarrow\quad\omega_3=\dfrac{r_1}{r_3}\,\omega_1=\dfrac{7}{3}\,\omega_1.\]
2. Condição para A e B voltarem a se encontrar
O ponto de tangência entre C1 e C2 é fixo no espaço. Para que os pontos marcados A (em C1) e B (em C2) voltem a coincidir nesse ponto, cada disco deve ter completado um número inteiro de voltas.
Se:
- C1 der m voltas (\(\theta_1=2\pi m\));
- C2 der n voltas (\(\theta_2=2\pi n\)),
então:\[\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{m}{n}=\frac{5}{7}.\]
O par inteiro mínimo que satisfaz essa razão é m = 5 e n = 7.
3. Voltas do círculo interno C3
O número de voltas de C3 nesse intervalo é:
\[N_3=\frac{\theta_3}{2\pi}=\frac{\omega_3\,T}{2\pi}=\frac{\omega_3}{\omega_1}\,m=\frac{7/3}{1}\,\cdot5=\frac{35}{3}=11\dfrac{2}{3}.\]
Portanto, o círculo de centro em C3 completa \(11\dfrac{2}{3}\) voltas.
Dicas
Erros Comuns
- Rolamento sem deslizamento: em um ponto de contato, as velocidades lineares das superfícies em contato são iguais.
- Velocidade linear e angular: v = r ω. Se não há escorregamento entre dois discos, r1ω1 = r2ω2.
- Paridades externa e interna: No contato externo os discos giram em sentidos opostos; no interno, no mesmo sentido.
- Ponto volta a coincidir: um ponto marcado num disco retorna a uma posição fixa quando o disco completa um número inteiro de voltas.
- Mínimo comum múltiplo de voltas: ao exigir inteiros de voltas em dois discos, usa-se a menor combinação que satisfaz a razão das velocidades.
