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UEA 2013
Observe o gráfico.
Partindo da origem A, e caminhando sobre as linhas do quadriculado, sempre para cima, na direção do eixo y, ou para a direita, na direção do eixo x, o número de possíveis percursos para atingir o ponto B é igual a
a
55.
b
60.
c
40.
d
65.
e
35.
Ver resposta
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Resposta
E
Resolução
Sejam os pontos \(A=(0,0)\) e \(B=(4,3)\) (quatro quadrículas à direita e três para cima).
Para ir de \(A\) até \(B\) só são permitidos dois tipos de movimentos:
• R: um passo para a direita (eixo \(x\)).
• U: um passo para cima (eixo \(y\)).
Assim, qualquer percurso de \(A\) até \(B\) é uma sequência de
\[\underbrace{R\,R\,R\,R}_{4\;\text{direitas}}\;\;\underbrace{U\,U\,U}_{3\;\text{subidas}}\]
Ao todo são \(4+3 = 7\) passos. Para contar quantas sequências diferentes podem ser formadas, basta escolher em quais das 7 posições ficarão os 3 passos para cima (ou, equivalentemente, os 4 passos para a direita):
\[\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\,4!}=35.\]
Portanto, existem 35 percursos distintos.
Resposta: alternativa E.
Para ir de \(A\) até \(B\) só são permitidos dois tipos de movimentos:
• R: um passo para a direita (eixo \(x\)).
• U: um passo para cima (eixo \(y\)).
Assim, qualquer percurso de \(A\) até \(B\) é uma sequência de
\[\underbrace{R\,R\,R\,R}_{4\;\text{direitas}}\;\;\underbrace{U\,U\,U}_{3\;\text{subidas}}\]
Ao todo são \(4+3 = 7\) passos. Para contar quantas sequências diferentes podem ser formadas, basta escolher em quais das 7 posições ficarão os 3 passos para cima (ou, equivalentemente, os 4 passos para a direita):
\[\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\,4!}=35.\]
Portanto, existem 35 percursos distintos.
Resposta: alternativa E.
Dicas
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Conte quantas colunas e quantas linhas separam A de B.
Todo percurso é uma sequência de R (direita) e U (cima).
Quantas maneiras há de escolher a posição de 3 U em uma sequência de 7 passos?
Erros Comuns
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Não contar corretamente quantas colunas e linhas separam A de B.
Usar permutação simples em vez de combinação, multiplicando 7! sem dividir pelos fatores repetidos.
Permitir passos diagonais ou de volta (para baixo/esquerda).
Revisão
• Caminhos em grade: cada percurso é descrito por uma sequência de movimentos elementares (R e U).
• Combinações: o número de sequências distintas com \(m\) letras de um tipo e \(n\) de outro é \(\binom{m+n}{m}\).
• Fatorial e coeficientes binomiais: \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).
• Combinações: o número de sequências distintas com \(m\) letras de um tipo e \(n\) de outro é \(\binom{m+n}{m}\).
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