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PUC-RS Inverno 2016
Observe, na figura abaixo, uma parte da rampa em uma pista de skate. Sua forma é semelhante à representação gráfica de uma função em que y = f(x) é dada por
a
y = ax + b, a ≠ 0
b
y = | ax |, a ≠ 0
c
\(y=\sqrt{ax},a\ne0\)
d
y = loga(x), a > 1
e
y = ax , a > 1
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Resposta
E
Resolução
Para escolher a expressão que melhor descreve o contorno da rampa, precisamos observar como a altura (y) varia à medida que nos afastamos da origem no eixo x.
- Forma geral da curva. O traçado (parte preta) começa quase horizontal e, conforme o x aumenta, fica cada vez mais íngreme até atingir um trecho praticamente vertical. Isso caracteriza uma curva concava para cima (curvatura voltada para cima), com inclinação crescente.
- Descartando funções não compatíveis.
- Uma reta (y = ax + b) possui inclinação constante; não atende ao comportamento observado.
- A função módulo (y = |ax|) forma um “V” com duas retas; não há essa quina na figura.
- A raiz quadrada (y = \sqrt{ax}) é côncava para baixo; sua inclinação diminui, o oposto do que vemos.
- O logaritmo (y = \log_a x) também é côncavo para baixo (cresce cada vez mais devagar).
- Função exponencial. A curva y = a^x (com a > 1):
- Parte de um crescimento lento perto da origem (quando x é pequeno, y muda pouco);
- Tem derivada (inclinação) crescente; fica rapidamente íngreme quando x aumenta;
- É justamente concava para cima, reproduzindo a forma da rampa.
Portanto, a expressão que melhor representa a forma da rampa é:
\(\displaystyle \boxed{y = a^{x}\;,\; a>1}\)
Dicas
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Observe se a inclinação (declividade) aumenta ou diminui ao longo da rampa.
Compare o formato da curva com o crescimento de funções conhecidas (exponencial, log, etc.).
Descubra quais opções são côncavas para cima: sobrarão poucas alternativas.
Erros Comuns
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Confundir a concavidade e pensar que a raiz ou o logaritmo crescem ‘rápido’ no começo, escolhendo C ou D.
Achar que qualquer curva suave poderia ser desenhada por \(\sqrt{x}\) sem analisar a inclinação.
Não perceber que módulo gera vértice e marcar B.
Revisão
Conceitos-chave
- Côncavidade: se a inclinação aumenta, a curva é côncava para cima; se diminui, é côncava para baixo.
- Função exponencial (y = a^x, a > 1): cresce lentamente no início e dispara depois, sempre côncava para cima.
- Função raiz (\(\sqrt{x}\)) e logaritmo (\(\log x\)): ambas crescem cada vez mais devagar → côncavas para baixo.
- Função módulo: forma duas semirretas que se encontram num vértice (quina).
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