UEG 2019/2
Observando-se o desenho a seguir, no qual o círculo tem raio r, e calculando-se o apótema \(a_4\), obtemos
\(2r\sqrt{2}\)
\(3r\sqrt{2}\)
\(\frac{3r}{2}\sqrt{2}\)
\(\frac{r}{2}\sqrt{2}\)
\(r\sqrt{2}\)
Resolução
Sejam:
- o centro da circunferência O;
- o ponto superior da circunferência A;
- o ponto extremo direito da circunferência B.
O raio vale r, logo
\( AO = BO = r \)
Unindo A a B obtém-se o triângulo \( \triangle AOB \).
Como \( AO \) é vertical e \( BO \) é horizontal, temos um triângulo retângulo isósceles:
catetos: \( AO = BO = r \)
hipotenusa: \( AB = r\sqrt{2} \)
O segmento tracejado \( a_4 \) liga o ponto médio de \( AO \) (chamemos-lo M) à hipotenusa \( AB \) de forma perpendicular. Assim, \( a_4 \) é a distância do ponto \( M(0,\tfrac r 2) \) à reta \( AB \).
Equação de \( AB \):
De \( A(0,r) \) e \( B(r,0) \) resulta \( y = -x + r \)
ou \( x + y - r = 0 \).
Distância ponto–reta:
\[ a_4 = \frac{|0 + \tfrac r 2 - r|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{\tfrac r 2}{\sqrt2}=\frac{r}{2\sqrt2}.\]Portanto,
\(\boxed{\displaystyle a_4 = \frac{r}{2\sqrt{2}}}\)
Alternativa correta: D.
Dicas
Erros Comuns
- Triângulo retângulo isósceles: possui catetos iguais; a hipotenusa é \( \sqrt2 \) vezes um cateto.
- Distância de um ponto a uma reta: \( d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \) para a reta \( Ax+By+C=0 \).
- Apótema (neste contexto): segmento perpendicular de um ponto a uma corda ou lado de uma figura poligonal.
