clear
IFNMG 2013/2
O valor numérico da expressão y = log3 243 + log1/4 32 + log 0,01 + \(log^{10\sqrt{10}}\) é:
a
-1
b
2
c
4
d
-3
Ver resposta
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Resposta
B
Tempo médio
45 s
Resolução
Cálculo termo a termo
Sejam os logaritmos sem base explícita de base 10.
- \(\log_{3} 243\)
243 pode ser escrito como \(3^{5}\). Logo:
\[\log_{3} 243 = \log_{3}(3^{5}) = 5\] - \(\log_{\frac14} 32\)
Escreva as potências de 2:
\(\tfrac14 = 4^{-1} = 2^{-2}\) e \(32 = 2^{5}\).
Precisamos de \(k\) tal que \((\tfrac14)^{k}=32\):
\[2^{-2k}=2^{5}\;\Longrightarrow\;-2k = 5\;\Longrightarrow\;k=-\tfrac52\]
Portanto:
\[\log_{\frac14} 32 = -\tfrac52 = -2{,}5\] - \(\log 0{,}01\)
\(0,01 = 10^{-2}\); logo:
\[\log 0{,}01 = \log(10^{-2}) = -2\] - \(\log(10\sqrt{10})\)
\(10\sqrt{10}=10\cdot10^{1/2}=10^{1+1/2}=10^{3/2}\); logo:
\[\log(10\sqrt{10}) = \log(10^{3/2}) = \tfrac32 = 1{,}5\]
Soma dos resultados
\[y = 5 + (-2{,}5) + (-2) + 1{,}5 = 2\]
Resposta
A soma vale \(\boxed{2}\); alternativa B.
Dicas
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Escreva cada número como potência da base indicada.
Lembre-se: se a base é \(<1\), o logaritmo de um número maior que 1 será negativo.
Transforme 10√10 em potência de 10 antes de calcular o log.
Erros Comuns
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Esquecer que logaritmos sem base são de base 10.
Desconhecer que uma base menor que 1 inverte o sinal do logaritmo.
Calcular \(\log_{1/4} 32\) como –2 em vez de –2,5.
Trocar o sinal de 1,5 ao calcular \(\log(10\sqrt{10})\).
Revisão
- Definição de logaritmo: \(\log_{b} a = x\iff b^{x}=a\).
- Propriedade da potência: \(\log_{b}(b^{k}) = k\).
- Mudança de base / sinais: se a base for menor que 1, o logaritmo resultará negativo quando o argumento > 1.
- Logaritmo decimal: ausência de base indica base 10.
- Produtos dentro do log: transforme em potência de 10 sempre que possível.
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