UFRGS 2019
O valor numérico da expressão \(\left(\frac{1}{2}+1\right)\cdot\left(\frac{1}{3}+1\right)\cdot\left(\frac{1}{4}+1\right)\cdot...\cdot\left(\frac{1}{1000}+1\right)\) é
\(\frac{1001}{4}\).
\(\frac{1001}{3}\).
500.
501.
\(\frac{1001}{2}\).
Resolução
Escreva cada fator com denominador comum:
\[\left(\tfrac12+1\right)=\tfrac{3}{2},\;\left(\tfrac13+1\right)=\tfrac{4}{3},\;\left(\tfrac14+1\right)=\tfrac{5}{4}\;\dots\;\left(\tfrac1{1000}+1\right)=\tfrac{1001}{1000}.\]
A expressão inteira é
\[P=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\cdots\frac{1001}{1000}.\]
Observe o efeito telescópico: cada numerador cancela com o denominador do termo seguinte.
Cancelando sucessivamente:
\[P=\cancel{3}\,/2\;\times\;4/\cancel{3}\;\times\;\cancel{5}/4\;\times\;\dots\;\times\;1001/\cancel{1000}.\]
Sobram apenas o primeiro denominador e o último numerador:
\[P=\frac{1001}{2}.\]
Portanto, o valor numérico da expressão é \(\boxed{\tfrac{1001}{2}}\).
Dicas
Erros Comuns
Produto telescópico é uma multiplicação em que fatores consecutivos permitem cancelamentos sucessivos, restando poucos termos.
Para produtos do tipo \(\prod\limits_{n=a}^{b}\frac{n+1}{n}\), todos os denominadores de \(n\) cancelam-se com os numeradores de \(n+1\), resultando em \(\dfrac{b+1}{a}\).
Cuidado para não esquecer o primeiro denominador e o último numerador: eles nunca se cancelam.
