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EsPCEx 2011
O valor numérico da expressão \(\frac{sec1320^{\circ}}{2}-2.cos\left(\frac{53\pi}{3}\right)+\left(tg\ 2220^{\circ}\right)^2\) é:
a
-1
b
0
c
\(\frac{1}{2}\)
d
1
e
\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ver resposta
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Resposta
D
Resolução
Passo 1 — Reduzir os ângulos
- sec 1320° → subtraímos voltas de 360°.
1320° − 3·360° = 1320° − 1080° = 240°.
Logo, sec 1320° = sec 240°. - cos\(\left(\frac{53\pi}{3}\right)\) → trabalhamos em radianos.
O período do cosseno é 2π (≡ \(\frac{6\pi}{3}\)).
53 mod 6 = 5 ⇒ \(\frac{53\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}\). - tg 2220° → o período da tangente é 180°.
2220° − 12·180° = 2220° − 2160° = 60°.
Logo, tg 2220° = tg 60°.
Passo 2 — Calcular cada valor trigonométrico
- cos 240° = cos\(\left(180°+60°\right)\) = −cos 60° = −\(\frac12\).
- sec (=1/cos) 240° = 1/\(−\frac12\) = −2.
\(\frac{sec1320°}{2}=\frac{−2}{2}=−1\). - cos\(\frac{5\pi}{3}\)=cos 300° = \(\frac12\).
−2·cos = −2·\(\frac12\)=−1. - tg 60° = \(\sqrt3\).
\(\left(tg 2220°\right)^2=(\sqrt3)^2=3\).
Passo 3 — Somar os termos
Valor total = \(−1\)+\(−1\)+3 = 1.
Resposta: 1 (alternativa D).
Dicas
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Reduza cada ângulo ao intervalo de 0°–360° (ou 0–2π).
Lembre-se: sec x = 1/cos x.
tg 2220° = tg 60°, pois 2220° = 2160° + 60°.
Erros Comuns
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Não reduzir corretamente 53π/3, pensando que 53/3 não possui resto 5.
Usar período de 360° para a tangente (deveria ser 180°).
Esquecer que sec x = 1/cos x.
Elevar tan 60° ao quadrado mas esquecer o expoente ou trocar √3 por 1/√3.
Somar apressadamente −1 + (−1) e esquecer o termo +3.
Revisão
- Período trigonométrico
• sen, cos, sec, cosec → 360° ou 2π.
• tg, cotg → 180° ou π. - Secante: \(\sec x=\dfrac1{\cos x}\).
- Redução de arco: subtrair múltiplos do período para obter Ângulos de referência no intervalo [0°, 360°] (ou [0, 2π]).
- Valores notáveis
• cos 60° = 1/2; cos 300° = 1/2.
• tg 60° = √3.
• cos 240° = −1/2.
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