FGV 2020
é igual aResolução
Solução passo a passo
Temos a função
\[f(x)=\sqrt{\left(\tfrac12\right)^{x^{2}+7x+10}}\, .\]
Para facilitar, escrevamos a raiz quadrada como potência de expoente \(\tfrac12\):
\[f(x)=\bigl(\tfrac12\bigr)^{\tfrac12\,(x^{2}+7x+10)}=\bigl(\tfrac12\bigr)^{\dfrac{x^{2}+7x+10}{2}}.\]
O número \(\tfrac12\) é menor que 1, portanto a potência \(\bigl(\tfrac12\bigr)^{t}\) decresce quando \(t\) cresce e cresce quando \(t\) diminui. Logo, para maximizar \(f(x)\) precisamos minimizar o expoente
\[g(x)=\dfrac{x^{2}+7x+10}{2}.\]
1. Mínimo do polinômio
Basta minimizar \(x^{2}+7x+10\). Como se trata de uma parábola de concavidade para cima (coeficiente do termo quadrático positivo), seu mínimo ocorre no vértice:
\[x_{v}=\frac{-b}{2a}=\frac{-7}{2\cdot1}=\frac{-7}{2}=-3,5.\]
Calculando o valor da função no vértice:
\[x^{2}+7x+10\Big|_{x=-\tfrac72}=\left(-\tfrac72\right)^{2}+7\left(-\tfrac72\right)+10=\frac{49}{4}-\frac{49}{2}+10=\frac{-9}{4}.\]
Assim,
\[g_{\min}=\dfrac{-9/4}{2}=\,-\frac{9}{8}.\]
2. Valor máximo de \(f(x)\)
Substituindo o valor mínimo do expoente:
\[f_{\max}=\left(\tfrac12\right)^{-\tfrac{9}{8}}=2^{\tfrac{9}{8}}.\]
Reescrevendo em notação de raiz:
\[2^{\tfrac{9}{8}}=2^{1+\tfrac18}=2\,2^{\tfrac18}=2\,\sqrt[8]{2}.\]
Logo, o valor máximo é
\[\boxed{2\,\sqrt[8]{2}}\]
que corresponde à alternativa C.
Dicas
Erros Comuns
- Potência de base menor que 1: se \(0<a<1\), a função \(a^{t}\) é decrescente em \(t\).
- Vértice da parábola: para \(ax^{2}+bx+c\) com \(a>0\), o mínimo ocorre em \(x=-\tfrac{b}{2a}\).
- Conversão de potências: \(\bigl(\tfrac12\bigr)^{-p}=2^{p}\); potências com expoente fracionário podem ser escritas em forma de raiz, por exemplo \(2^{1/8}=\sqrt[8]{2}.\)
