clear
UEG 2013/2
O valor da expressão 4 sen \(\frac{31\pi}{3}\) + 6 cos 2655o é igual a:
a
2 – 3\(\sqrt{2}\)
b
3\(\sqrt{2}\) – 2\(\sqrt{3}\)
c
3\(\sqrt{2}\) – 2
d
2\(\sqrt{3}\) – 3\(\sqrt{2}\)
Ver resposta
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Resposta
D
Resolução
\[4\sin\left(\frac{31\pi}{3}\right)+6\cos(2655^{\circ})\]
\n1. Reduza os ângulos
\n• Período do seno: \(2\pi\).
\n 31\(\pi/3=\frac{31\pi}{3}\). Como \(2\pi=\frac{6\pi}{3}\), \(31\equiv1\pmod 6\).
\n Assim, \(\sin\left(\frac{31\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.\)
\n• Período do cosseno: \(360^{\circ}\).
\n 2655°≡2655−7·360=2655−2520=135°. Logo, \(\cos2655^{\circ}=\cos135^{\circ}=-\frac{\sqrt2}{2}.\)
\n2. Calcule cada parcela
\n\(4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\).
\n\(6\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-3\sqrt2\).
\n3. Some os valores
\n\[2\sqrt3-3\sqrt2.\]
\nPortanto, a alternativa correta é a D.
\n1. Reduza os ângulos
\n• Período do seno: \(2\pi\).
\n 31\(\pi/3=\frac{31\pi}{3}\). Como \(2\pi=\frac{6\pi}{3}\), \(31\equiv1\pmod 6\).
\n Assim, \(\sin\left(\frac{31\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.\)
\n• Período do cosseno: \(360^{\circ}\).
\n 2655°≡2655−7·360=2655−2520=135°. Logo, \(\cos2655^{\circ}=\cos135^{\circ}=-\frac{\sqrt2}{2}.\)
\n2. Calcule cada parcela
\n\(4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\).
\n\(6\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-3\sqrt2\).
\n3. Some os valores
\n\[2\sqrt3-3\sqrt2.\]
\nPortanto, a alternativa correta é a D.
Dicas
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Reduza cada ângulo ao intervalo de 0 a 360° (ou 0 a 2π).
Lembre-se dos valores notáveis para 30°, 45°, 60°, 90°, 135° etc.
Depois de substituir, multiplique pelos coeficientes 4 e 6 antes de somar.
Erros Comuns
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Esquecer de reduzir os ângulos e calcular \(\sin\frac{31\pi}{3}\) ou \(\cos2655^{\circ}\) diretamente.
Confundir \(\sin\frac{\pi}{3}\) com \(\frac12\) ou \(\cos135^{\circ}\) com \(\frac{\sqrt2}{2}\).
Errar ao multiplicar: usar 6 em vez de 4 (ou vice-versa) nos valores simplificados.
Revisão
- Período das funções trigonométricas: \(\sin x\) e \(\cos x\) têm período 2π (ou 360°).
- Redução de ângulos: Subtrair múltiplos inteiros de 2π (ou 360°) para obter um ângulo no intervalo fundamental.
- Valores notáveis: \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\) e \(\cos135^{\circ}=-\frac{\sqrt2}{2}\).
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