USP 2014

Seja s o lado do quadrado, logo \(AB = s\).

1. Área do quadrado

\[A_{\text{quad}} = s^{2}.\]

2. Relação entre s, o raio r e o ângulo \(\varphi\)

No triângulo isósceles \(\triangle AOB\), temos \(OA = OB = r\). O ponto O é o centro de uma circunferência que passa por A e B. Assim, \(AB\) é uma corda que subtende o ângulo central \(\varphi\), de modo que

\[AB = 2r\,\sin\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right).\]

Como \(AB = s\), obtemos

\[r = \dfrac{s}{2\,\sin\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}.\]

3. Área do triângulo \(\triangle AOB\)

\[A_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\,OA\,OB\,\sin\varphi = \dfrac{1}{2}\,r^{2}\,\sin\varphi.\]

Substituindo \(r\):

\[A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{s}{2\,\sin\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}\right)^{2}\!\sin\varphi = \dfrac{s^{2}\,\sin\varphi}{8\,\sin^{2}\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}.\]

4. Inequação "área do quadrado > área do triângulo"

Queremos

\[s^{2} > \dfrac{s^{2}\,\sin\varphi}{8\,\sin^{2}\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}\quad \Longrightarrow\quad 1 > \dfrac{\sin\varphi}{8\,\sin^{2}\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)}.\]

Multiplicando ambos os lados por \(8\,\sin^{2}\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)>0\):

\[8\,\sin^{2}\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right) > \sin\varphi.\]

Com \(\sin\varphi = 2\sin\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)\), divide-se por \(2\sin\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)\)(>0):

\[4\,\sin\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right) > \cos\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right) \quad\Longrightarrow\quad \tan\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right) > \dfrac{1}{4}.\]

5. Intervalo para \(\varphi\)

\[\dfrac{\varphi}{2} > \arctan\!\left(\dfrac{1}{4}\right) \approx 14^{\circ}\!02 \quad\Longrightarrow\quad \varphi > 28^{\circ}\!04.\]

Portanto, qualquer ângulo estritamente maior que \(\approx 28^{\circ}\) garante que a área do quadrado seja maior que a do triângulo.

Dentre as alternativas, o único intervalo completamente acima de \(28^{\circ}\) é

30° < \(\varphi\) < 150°.

Logo, a alternativa correta é E.