ENEM 2010 segunda aplicação
O trabalho em empresas de festas exige dos profissionais conhecimentos de diferentes áreas. Na semana passada, todos os funcionários de uma dessas empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confecção de um painel de Natal.
Um dos funcionários apresentou um esboço das primeiras cinco linhas do painel, que terá, no total, 150 linhas.
Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esboçou sua resposta:
FUNCIONÁRIO I: aproximadamente 200 estrelas.
FUNCIONÁRIO II: aproximadamente 6 000 estrelas.
FUNCIONÁRIO III: aproximadamente 12 000 estrelas.
FUNCIONÁRIO IV: aproximadamente 22 500 estrelas.
FUNCIONÁRIO V: aproximadamente 22 800 estrelas.
Qual funcionário apresentou um resultado mais próximo da quantidade de estrelas necessária?
I
II
III
IV
V
Resolução
A questão pede para determinar qual funcionário apresentou a estimativa mais próxima da quantidade total de estrelas necessárias para um painel de Natal com 150 linhas, seguindo um padrão apresentado nas primeiras 5 linhas.
1. Identificação do Padrão:
Observando a imagem que mostra o esboço das primeiras linhas, notamos o seguinte padrão na quantidade de estrelas por linha:
- Linha 1: 1 estrela
- Linha 2: 2 estrelas
- Linha 3: 3 estrelas
- Linha 4: 4 estrelas
- Linha 5: 5 estrelas
O padrão é que a quantidade de estrelas na linha \(n\) é igual a \(n\).
2. Cálculo da Quantidade Total de Estrelas:
O painel terá 150 linhas. Para encontrar a quantidade total de estrelas, precisamos somar a quantidade de estrelas de cada linha, da linha 1 até a linha 150:
\[ \text{Total de estrelas} = 1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 149 + 150 \]
Esta é a soma dos termos de uma Progressão Aritmética (PA) onde:
- O primeiro termo (\(a_1\)) é 1.
- O último termo (\(a_n\)) é 150.
- O número de termos (\(n\)) é 150.
A fórmula para a soma dos \(n\) primeiros termos de uma PA é:
\[ S_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2} \]
Substituindo os valores:
\[ S_{150} = \frac{(1 + 150) \times 150}{2} \]
\[ S_{150} = \frac{151 \times 150}{2} \]
\[ S_{150} = 151 \times \frac{150}{2} \]
\[ S_{150} = 151 \times 75 \]
Calculando o produto:
\[ 151 \times 75 = 11325 \]
Portanto, a quantidade total exata de estrelas necessárias é 11.325.
3. Comparação com as Estimativas dos Funcionários:
Agora, vamos comparar o valor exato (11.325) com as estimativas de cada funcionário para ver qual é a mais próxima:
- FUNCIONÁRIO I: 200 estrelas. Diferença: \( |11325 - 200| = 11125 \)
- FUNCIONÁRIO II: 6.000 estrelas. Diferença: \( |11325 - 6000| = 5325 \)
- FUNCIONÁRIO III: 12.000 estrelas. Diferença: \( |11325 - 12000| = |-675| = 675 \)
- FUNCIONÁRIO IV: 22.500 estrelas. Diferença: \( |11325 - 22500| = |-11175| = 11175 \)
- FUNCIONÁRIO V: 22.800 estrelas. Diferença: \( |11325 - 22800| = |-11475| = 11475 \)
A menor diferença é 675, que corresponde à estimativa do FUNCIONÁRIO III.
Conclusão:
O funcionário que apresentou o resultado mais próximo da quantidade necessária de estrelas (11.325) foi o FUNCIONÁRIO III, com uma estimativa de 12.000 estrelas.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, é fundamental entender o conceito de Progressão Aritmética (PA) e a fórmula da soma de seus termos.
Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante \(r\), chamada razão da PA.
Neste problema, a sequência do número de estrelas por linha (1, 2, 3, ..., 150) é uma PA de razão \(r = 1\).
A soma dos \(n\) primeiros termos de uma PA (\(S_n\)) pode ser calculada usando a fórmula:
\[ S_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2} \]
Onde:
- \(S_n\) é a soma dos \(n\) primeiros termos.
- \(a_1\) é o primeiro termo da PA.
- \(a_n\) é o n-ésimo termo (último termo considerado).
- \(n\) é o número de termos da PA.
No caso específico da soma dos \(n\) primeiros números inteiros positivos (\(1 + 2 + 3 + \dots + n\)), temos \(a_1 = 1\) e \(a_n = n\), então a fórmula se simplifica para:
\[ S_n = \frac{(1 + n) \times n}{2} \]
