FGV-SP Economia Tarde 2015
O texto a seguir refere-se à questão
Em seu livro O pequeno príncipe, Antoine de Saint-Exupéry imaginou haver vida em certo planeta ideal. Tal planeta teria dimensões curiosas e grandezas gravitacionais inimagináveis na prática. Pesquisas científicas, entretanto, continuam sendo realizadas e não se descarta a possibilidade de haver mais planetas no sistema solar, além dos já conhecidos.
Imagine um hipotético planeta, distante do Sol 10 vezes mais longe do que a Terra se encontra desse astro, com massa 4 vezes maior que a terrestre e raio superficial igual à metade do raio da Terra. Considere a aceleração da gravidade na superfície da Terra expressa por g.
Um objeto, de massa m, a uma altura h acima do solo desse planeta, com h muito menor do que o raio superficial do planeta, teria uma energia potencial dada por m·g·h multiplicada pelo fator
10.
16.
32.
36.
54.
Resolução
Sabemos que:
\n- \n
- \(M' = 4\,M_{\text{T}}\) \n
- \(R' = \tfrac{1}{2}\,R_{\text{T}}\) \n
Assim,
\n\[g' = \frac{G\,(4\,M_{\text{T}})}{\left(\tfrac{1}{2}\,R_{\text{T}}\right)^2}=\frac{4\,G\,M_{\text{T}}}{\tfrac{1}{4}\,R_{\text{T}}^{2}} = 16\,\frac{G\,M_{\text{T}}}{R_{\text{T}}^{2}} = 16\,g\]\nA energia potencial gravitacional nas proximidades da superfície é
\n\[U' = m\,g'\,h = m\,(16\,g)\,h = 16\,m\,g\,h\]\nLogo, o fator multiplicativo pedido é 16.
\nDicas
Erros Comuns
Conceitos-chave
- Aceleração da gravidade: \(g = G\,M/R^2\).
- Energia potencial próxima à superfície: \(U = m\,g\,h\) (válido para \(h \ll R\)).
- Variação de \(g\) com massa e raio: se a massa aumenta e/ou o raio diminui, \(g\) cresce proporcionalmente.
