ENEM 2020
O técnico de um time de basquete pretende aumentar a estatura média de sua equipe de 1,93 m para, no mínimo, 1,99 m. Para tanto, dentre os 15 jogadores que fazem parte de sua equipe, irá substituir os quatro mais baixos, de estaturas: 1,78 m, 1,82 m, 1,84 me 1,86 m. Para isso, O técnico contratou um novo jogador de 2,02 m. Os outros três jogadores que ele ainda precisa contratar devem satisfazer à sua necessidade de aumentar a média das estaturas da equipe. Ele fixará a média das estaturas para os três jogadores que ainda precisa contratar dentro do critério inicialmente estabelecido.
Qual deverá ser a média mínima das estaturas, em metro, que ele deverá fixar para o grupo de três novos jogadores que ainda irá contratar?
1,96
1,98
2,05
2,06
2,08
Resolução
Solução Detalhada:
O problema pede a média mínima das estaturas dos três jogadores que ainda serão contratados para que a estatura média da equipe de 15 jogadores passe de 1,93 m para, no mínimo, 1,99 m, após a substituição dos quatro jogadores mais baixos por quatro novos jogadores (um já contratado e três a serem contratados).
Passo 1: Calcular a soma das estaturas atuais da equipe.
A equipe tem 15 jogadores com média de estatura de 1,93 m.
Soma das estaturas atuais = (Número de jogadores) × (Média de estatura atual)
\[ \text{Soma}_{\text{atual}} = 15 \times 1,93 = 28,95 \text{ m} \]
Passo 2: Calcular a soma das estaturas dos quatro jogadores que serão substituídos.
As estaturas são 1,78 m, 1,82 m, 1,84 m e 1,86 m.
Soma das estaturas dos jogadores removidos = 1,78 + 1,82 + 1,84 + 1,86
\[ \text{Soma}_{\text{removidos}} = 7,30 \text{ m} \]
Passo 3: Calcular a soma das estaturas dos 11 jogadores que permanecerão na equipe.
Soma das estaturas dos 11 restantes = Soma das estaturas atuais - Soma das estaturas dos jogadores removidos
\[ \text{Soma}_{\text{restantes}} = 28,95 - 7,30 = 21,65 \text{ m} \]
Passo 4: Calcular a soma mínima das estaturas da nova equipe para atingir a meta.
A nova equipe terá 15 jogadores e a média mínima desejada é 1,99 m.
Soma mínima das estaturas da nova equipe = (Número de jogadores) × (Média de estatura mínima desejada)
\[ \text{Soma}_{\text{nova}} = 15 \times 1,99 = 29,85 \text{ m} \]
Passo 5: Calcular a soma mínima das estaturas dos quatro novos jogadores.
A soma das estaturas da nova equipe é a soma das estaturas dos 11 jogadores restantes mais a soma das estaturas dos 4 novos jogadores.
Soma mínima dos 4 novos jogadores = Soma mínima da nova equipe - Soma dos 11 restantes
\[ \text{Soma}_{\text{4 novos}} = 29,85 - 21,65 = 8,20 \text{ m} \]
Passo 6: Calcular a soma mínima das estaturas dos três jogadores que ainda precisam ser contratados.
Um dos novos jogadores já foi contratado e tem 2,02 m. A soma das estaturas dos 4 novos jogadores é a soma da estatura desse jogador mais a soma das estaturas dos outros 3.
Soma mínima dos 3 novos jogadores = Soma mínima dos 4 novos jogadores - Estatura do jogador contratado
\[ \text{Soma}_{\text{3 novos}} = 8,20 - 2,02 = 6,18 \text{ m} \]
Passo 7: Calcular a média mínima das estaturas dos três jogadores que ainda precisam ser contratados.
Média mínima = Soma mínima das estaturas dos 3 novos jogadores / Número de jogadores
\[ \text{Média}_{\text{3 novos}} = \frac{6,18}{3} = 2,06 \text{ m} \]
Portanto, a média mínima das estaturas para o grupo de três novos jogadores que ainda serão contratados deverá ser 2,06 m.
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceito: Média Aritmética
A média aritmética de um conjunto de números é a soma de todos os números dividida pela quantidade de números no conjunto.
Fórmula: \[ \text{Média} = \frac{\text{Soma dos valores}}{\text{Número de valores}} \]
A partir dessa fórmula, podemos também calcular a soma dos valores se conhecermos a média e o número de valores:
\[ \text{Soma dos valores} = \text{Média} \times \text{Número de valores} \]
Este conceito é fundamental para resolver o problema, pois precisamos calcular somas de estaturas a partir das médias e vice-versa.
Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
