PUC-RS Inverno 2014
O sistema \(\Big\{\begin{matrix}2x-y=3\\-x+2y=4\end{matrix}\) pode ser apresentado como
\(\left[\begin{matrix}2&-1\\-1&2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right]\)
\(\left[\begin{matrix}-1&2\\2&-1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right]\)
\(\left[\begin{matrix}-1&2\\-1&2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right]\)
\(\left[\begin{matrix}-2&1\\1&-2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right]\)
\(\left[\begin{matrix}-2&1\\-1&2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right]\)
Resolução
Para escrever um sistema linear na forma matricial utilizamos a igualdade
\[ A\,\mathbf{x}=\mathbf{b} \]
onde:
- A é a matriz dos coeficientes: cada linha contém os coeficientes de uma equação, na ordem das variáveis.
- \(\mathbf{x}\) é o vetor-coluna das variáveis.
- \(\mathbf{b}\) é o vetor-coluna dos termos independentes.
Dado o sistema
\[ \begin{cases} 2x-y=3\\ -x+2y=4 \end{cases} \]
a primeira equação tem coeficientes 2 (para x) e -1 (para y); a segunda, -1 (para x) e 2 (para y). Assim,
\[ A=\begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 2\end{bmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}. \]
Portanto, a forma matricial correta é
\[ \begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}. \]
Essa expressão coincide com a alternativa A.
Dicas
Erros Comuns
Representação matricial de sistemas
- Um sistema linear de m equações em n variáveis pode ser escrito como \(A\,\mathbf{x}=\mathbf{b}\).
- A matriz A é formada pelos coeficientes das variáveis; cada linha corresponde a uma equação, cada coluna a uma variável.
- O vetor \(\mathbf{x}\) agrupa as variáveis na mesma ordem usada na matriz.
- O vetor \(\mathbf{b}\) traz os termos independentes.
