UCPEL Fevereiro 2009
O resultado do produto \(x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{-\frac{1}{3}}\) em forma de radical é
\(\sqrt[6]{x}\)
\(\sqrt[5]{x^6}\)
\(\sqrt[3]{x^2}\)
\(\sqrt[6]{5}\)
\(\sqrt[3]{x}\)
Resolução
Para calcular \(x^{\tfrac{1}{2}} \cdot x^{\,-\tfrac{1}{3}}\) usamos a lei dos expoentes que diz: ao multiplicar potências de mesma base, somamos os expoentes.
\[x^{\tfrac{1}{2}} \cdot x^{\,-\tfrac{1}{3}} = x^{\left(\tfrac{1}{2}+\left(-\tfrac{1}{3}\right)\right)} = x^{\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\right)}\]
Encontrando o denominador comum (6):
\[\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{6}, \qquad \tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{6}\]
Logo:
\[x^{\left(\tfrac{3}{6}-\tfrac{2}{6}\right)}=x^{\tfrac{1}{6}}\]
Expoente fracionário \(\tfrac{1}{6}\) corresponde a raiz de índice 6:
\[x^{\tfrac{1}{6}} = \sqrt[6]{x}\]
Portanto, o resultado em forma de radical é \(\sqrt[6]{x}\).
Dicas
Erros Comuns
- Lei dos expoentes: Para bases iguais, \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\).
- Expoente fracionário: \(a^{\tfrac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{\,p}}\). Se \(p=1\), fica \(\sqrt[q]{a}\).
- Conversão: depois de somar ou subtrair expoentes, transforme o resultado em radical se houver fração.
