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OBMEP Nível 2 2016
O relógio de ponteiros de Esmeralda está quebrado: o ponteiro dos minutos anda na velocidade correta, mas no sentido contrário; o ponteiro das horas funciona corretamente. Por exemplo, quando são 09h20 o relógio é mostrado na a figura acima. O relógio de Esmeralda quebrou exatamente às 00h00 e, no intervalo de 00h00 às 23h59 de um mesmo dia, os ponteiros de um relógio normal se sobrepõem 𝑥 vezes. Se 𝑦 é o número de vezes que os ponteiros do relógio de Esmeralda se sobrepõem no intervalo das 00h00 às 23h59 de um mesmo dia, então:
a
𝑥 = 𝑦
b
𝑥 = 𝑦 + 2
c
𝑦 = 𝑥 + 2
d
𝑦 = 𝑥 + 4
e
𝑥 = 𝑦 + 4
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Resposta
D
Resolução
1. Definições iniciais
- Ponteiro dos minutos (normal): velocidade \(+360\,\text{°/h}\) no sentido horário.
- Ponteiro das horas (normal): velocidade \(+30\,\text{°/h}\).
- Relógio quebrado: ponteiro dos minutos gira no sentido anti-horário com o mesmo módulo \(360\,\text{°/h}\); logo, sua velocidade é \(-360\,\text{°/h}\).
2. Quantas sobreposições ocorrem em um relógio normal?
No relógio normal, a velocidade relativa é
\[v_r = 360 - 30 = 330\;\text{°/h}.\]
Para que os ponteiros voltem a se sobrepor, a diferença angular precisa completar \(360\,\text{°}\).
\[\Delta t = \frac{360}{330}=\frac{12}{11}\;\text{h}\;\;(\approx 65\;\text{min}).\]
Em 12 horas há
\[n = \frac{12}{12/11}=11\;\text{sobreposições (contando 0 h, mas antes de 12 h).}\]
Logo, em 24 horas (00h00–23h59) ocorrem
\[x = 2\times11 = 22\;\text{sobreposições}.\]
3. Quantas sobreposições ocorrem no relógio de Esmeralda?
Velocidade relativa agora:
\[v_r' = (-360) - (+30) = -390\;\text{°/h}.\]
O módulo é \(390\,\text{°/h}\). O intervalo entre sobreposições é
\[\Delta t' = \frac{360}{390}=\frac{12}{13}\;\text{h}\;\;(\approx 55\;\text{min}).\]
Em 12 horas:
\[n' = \frac{12}{12/13}=13\;\text{sobreposições}.\]
Portanto, em 24 horas:
\[y = 2\times13 = 26.\]
4. Relação entre x e y
Observa-se que
\[y = 26 = 22 + 4 = x + 4.\]
Logo, a alternativa correta é:
D) \(\,y = x + 4\,\)
Dicas
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Calcule a velocidade relativa entre os ponteiros em cada situação.
Use ∆t = 360° / |v_rel| para achar o intervalo entre coincidências.
Conte quantos desses intervalos cabem em 24 horas (sem incluir 24h00).
Erros Comuns
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Assumir que o número de sobreposições não muda com o sentido do ponteiro dos minutos.
Esquecer que, em 12 h, são 11 (não 12) coincidências no relógio normal.
Contar 24h00 como ocorrência extra, excedendo o intervalo pedido (até 23h59).
Revisão
Velocidade angular dos ponteiros
- Minutos: 360° por hora (6° por minuto) – horário.
- Horas: 30° por hora – horário.
Velocidade relativa
Diferença entre as velocidades dos ponteiros; determina com que rapidez um alcança o outro.
Condição de sobreposição
Os ponteiros coincidem quando a diferença angular é múltipla inteiro de 360°.
Cálculo do intervalo
\(\Delta t = \dfrac{360}{|v_{rel}|}\)
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