UFMT 2007
O quadro abaixo apresenta a média da idade (em anos) de três grupos de pessoas que foram entrevistadas em uma pesquisa e a quantidade de pessoas de cada grupo.
Admita que a média da idade das pessoas entrevistadas do grupo B supera em 3 anos a média da idade das pessoas entrevistadas do grupo A, que a diferença entre a média da idade das pessoas entrevistadas do grupo C e a média da idade das pessoas entrevistadas do grupo A é 2 anos e que a média da idade das pessoas entrevistadas de todos os grupos é 22 anos.
A partir dessas informações, é correto afirmar que x + y + z é
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Resolução
Dados do problema
- Grupo A: 10 pessoas, média = x
- Grupo B: 20 pessoas, média = y
- Grupo C: 30 pessoas, média = z
Informações adicionais:
- \(y = x + 3\)
- \(z = x + 2\)
- Média geral = 22 anos
1. Calcular a média geral (média ponderada)
A média geral \(\overline{M}\) de todas as 60 pessoas é dada por
\[\frac{10\,x\; + \;20\,y\; + \;30\,z}{10+20+30}=22\]
Portanto
\[10x + 20y + 30z = 22 \times 60 = 1320\]
2. Substituir \(y\) e \(z\) em termos de \(x\)
\[y = x+3, \qquad z = x+2\]
Substituindo:
\[10x + 20(x+3) + 30(x+2) = 1320\]
\[10x + 20x + 60 + 30x + 60 = 1320\]
\[(10+20+30)x + 120 = 1320\]
\[60x + 120 = 1320\]
\[60x = 1200\]
\[x = 20\]
3. Determinar \(y\) e \(z\)
- \(y = x + 3 = 23\)
- \(z = x + 2 = 22\)
4. Calcular \(x + y + z\)
\[x + y + z = 20 + 23 + 22 = 65\]
Logo,
\(x + y + z = 65\)
A alternativa correta é a letra D.
Dicas
Erros Comuns
Média ponderada
Quando cada grupo possui um tamanho diferente, a média global é obtida ponderando cada média parcial pelo respectivo número de elementos:
\[\overline{M}=\frac{\sum n_i m_i}{\sum n_i}\]
onde \(n_i\) é o tamanho do grupo e \(m_i\) é a média desse grupo.
Resolução de equações lineares
Substituímos variáveis conhecidas em termos de uma incógnita e resolvemos a equação para encontrar o valor dessa incógnita.
