FUVEST 2021

Análise da Questão:

A questão pede para identificar a afirmação correta sobre números primos, utilizando como contexto uma tirinha que brinca com o tema.

Passo a Passo para a Solução:

1. Compreensão do Conceito: Lembre-se da definição de número primo: um número natural maior que 1 que possui apenas dois divisores naturais distintos: o 1 e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...
2. Análise da Alternativa A: "Todos os números primos são ímpares."
   Esta afirmação é falsa. O número 2 é um número primo (divisível apenas por 1 e 2), mas é par. Ele é o único número primo par. A tirinha inclusive mostra um personagem com o número 2.
3. Análise da Alternativa B: "Existem, no máximo, 7 trilhões de números primos."
   Esta afirmação é falsa. Um teorema fundamental da matemática, provado por Euclides por volta de 300 a.C., demonstra que existe uma quantidade infinita de números primos. 7 trilhões é um número muito grande, mas finito.
4. Análise da Alternativa C: "Todo número da forma \(2^n + 1\),n ∈ ℕ, é primo."
   Esta afirmação é falsa. Podemos testar alguns valores de n (lembrando que ℕ = {1, 2, 3, ...} ou {0, 1, 2, ...}, dependendo da convenção, mas isso não muda o resultado aqui):
   • Se n=1, \(2^1 + 1 = 3\) (primo)
   • Se n=2, \(2^2 + 1 = 5\) (primo)
   • Se n=3, \(2^3 + 1 = 8 + 1 = 9\). 9 não é primo, pois \(9 = 3 \times 3\).
   Como encontramos um contraexemplo (n=3), a afirmação é falsa. (Números da forma \(2^{2^k} + 1\) são chamados números de Fermat, e nem todos eles são primos).
5. Análise da Alternativa D: "Entre 24 e 36, existem somente 2 números primos."
   Vamos listar os números inteiros maiores que 24 e menores que 36: 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35. Agora, verificamos quais deles são primos:
   • 25 = 5 x 5 (não primo)
   • 26 = 2 x 13 (não primo)
   • 27 = 3 x 9 (não primo)
   • 28 = 2 x 14 (não primo)
   • 29 (primo - seus únicos divisores são 1 e 29)
   • 30 = 2 x 15 (não primo)
   • 31 (primo - seus únicos divisores são 1 e 31)
   • 32 = 2 x 16 (não primo)
   • 33 = 3 x 11 (não primo)
   • 34 = 2 x 17 (não primo)
   • 35 = 5 x 7 (não primo)
   Os únicos números primos no intervalo (24, 36) são 29 e 31. Portanto, existem exatamente 2 números primos nesse intervalo. Esta afirmação é verdadeira.
6. Análise da Alternativa E: "O número do quadrinho, 143, é um número primo."
   O número 143 aparece no título da tirinha ("Cientirinhas #143"). Para verificar se 143 é primo, testamos a divisibilidade por números primos menores ou iguais à sua raiz quadrada (\(\sqrt{143} \approx 11.9\)). Testamos os primos 2, 3, 5, 7, 11:
   • 143 não é divisível por 2 (é ímpar).
   • 1 + 4 + 3 = 8. Não é divisível por 3.
   • Não termina em 0 ou 5. Não é divisível por 5.
   • 143 ÷ 7 = 20 com resto 3. Não é divisível por 7.
   • 143 ÷ 11 = 13. É divisível por 11.
   Como \(143 = 11 \times 13\), ele possui divisores além de 1 e 143, logo, não é um número primo. Esta afirmação é falsa.

Conclusão:

A única afirmação correta sobre números primos entre as opções apresentadas é a alternativa D.