UNESP 2022/1
O quadrado PADU tem lado de medida 2 cm. A partir de M, que é ponto médio de DA, forma-se um novo quadrado, MENU, como mostra a figura.
Nessa figura, a área do pentágono não convexo UNESP é igual a
2,50 cm2.
3,00 cm2.
2,75 cm2.
3,25 cm2.
2,25 cm2.
Resolução
Vamos colocar o quadrado PADU num sistema de coordenadas para facilitar os cálculos.
- Seja A(0,0).
- Como o lado mede 2 cm, tomemos P(0,2), U(-2,2) e D(-2,0).
- O ponto médio de DA é M(-1,0).
1. Construindo o quadrado MENU
Sabemos que MU é um lado do novo quadrado.
- Vetor \(\vec{MU}=U-M=(-1,2)\), cujo módulo é \(\sqrt5\).
- Para obter o vértice E, giramos esse vetor 90° no sentido anti-horário:
\[(-1,2)\longrightarrow (2,1)\] - Assim, E = M + (2,1) = (1,1).
- O vértice N é obtido de E somando \(\vec{MU}\):
N = E + (-1,2) = (0,3).
2. Localizando o ponto S
S é a interseção do segmento ME com o lado AP (reta x = 0).
Equação paramétrica de ME:
\[M(-1,0)+t\,(2,1)\ (0\le t\le1)\]
Para x=0: \(-1+2t=0 \Rightarrow t=0{,}5\).
Então S(0,0{,}5).
3. Área do pentágono não convexo UNESP
Ordem dos vértices: \(U(-2,2)\), \(N(0,3)\), \(E(1,1)\), \(S(0,0{,}5)\) e \(P(0,2)\).
Aplicando a fórmula do Shoelace:
Somatório 1 = (-2)(3) + 0(1) + 1(0,5) + 0(2) + 0(2) = -5,5 Somatório 2 = 2(0) + 3(1) + 1(0) + 0,5(0) + 2(-2) = -1
\[\text{Área}=\tfrac12\,\bigl|(-5{,}5) - (-1)\bigr| = \tfrac12\times4{,}5 = 2{,}25\;\text{cm}^2\]
Resposta: 2,25 cm² (alternativa E).
Dicas
Erros Comuns
- Ponto médio: divide um segmento em duas partes iguais.
- Construção de quadrado a partir de um lado: o segundo lado é obtido por rotação de 90° do primeiro, mantendo o mesmo comprimento.
- Produto vetorial/rotação em 90°: para \((x,y)\) os vetores \((-y,x)\) e \((y,-x)\) são perpendiculares e têm mesmo módulo.
- Interseção de reta: resolver um sistema paramétrico rapidamente determina o ponto comum.
- Fórmula de Gauss (Shoelace): calcula área de qualquer polígono simples (mesmo não convexo) a partir das coordenadas ordenadas de seus vértices.
