FCMSCSP 2022
O programa de sócio torcedor de uma agremiação esportiva cobra mensalidade de R\$ 50,00 dos sócios. Atualmente, o programa conta com 600 sócios e a agremiação estima que a cada R\$ 5,00 de aumento na mensalidade irá perder 8 sócios.
Considerando apenas aumentos mensais de R\$ 5,00, o maior faturamento mensal que esse programa de sócio torcedor pode gerar para a agremiação é de
R$ 72.240,00.
R$ 78.250,00.
R$ 80.420,00.
R$ 82.280,00.
R$ 86.420,00.
Resolução
Seja n o número de reajustes de R\$ 5,00 aplicados sobre a mensalidade inicial.
• Mensalidade após n reajustes:
\(P(n)=50+5n\).
• Número de sócios que restam após n reajustes:
\(S(n)=600-8n\) (perdem-se 8 sócios a cada reajuste).
• Faturamento mensal:
\[R(n)=P(n)\cdot S(n)=(50+5n)(600-8n).\]
Expandindo:
\[\begin{aligned}R(n)&=50\cdot600-50\cdot8n+5n\cdot600-8\cdot5n^{2}\\&=30\,000+2\,600n-40n^{2}.\end{aligned}\]
Temos uma parábola \(R(n)=-40n^{2}+2\,600n+30\,000\) com concavidade para baixo; o vértice fornece o máximo teórico:
\[n_{v}=\frac{-b}{2a}=\frac{-2\,600}{2(-40)}=32{,}5.\]
Como n deve ser inteiro (reajustes de R\$ 5,00), testamos \(n=32\) e \(n=33\):
- \(n=32\):
\(P=50+5\cdot32=210\), \(S=600-8\cdot32=344\),
\(R=210\times344=R\$\,72\,240,00\). - \(n=33\):
\(P=215\), \(S=336\),
\(R=215\times336=R\$\,72\,240,00\).
Ambos fornecem o mesmo valor, que é o maior possível.
Maior faturamento mensal: R\$ 72 240,00.
Dicas
Erros Comuns
Conceitos-chave
- Função quadrática: expressões da forma \(ax^{2}+bx+c\) geram parábolas; se \(a<0\), há um valor máximo no vértice.
- Modelagem algébrica: transformar informação verbal (preço, quantidade, variação) em equações.
- Otimização discreta: quando a variável deve ser inteira, calcula-se o vértice e testa-se os inteiros vizinhos.
