INSPER Tarde 2012/2

O problema pede para ordenar os valores \(A = \text{sen}(1,6)\), \(B = \text{sen}(1,5)\) e \(\text{sen}(\frac{\pi}{2})\), sabendo que os ângulos estão em radianos e que \(\frac{\pi}{2} \approx 1,5708\).

Primeiro, vamos identificar os três ângulos que estamos comparando os senos: \(1,5\), \(1,6\) e \(\frac{\pi}{2} \approx 1,5708\).

Ordenando esses ângulos, temos: \(1,5 < \frac{\pi}{2} < 1,6\).

Agora, precisamos analisar o comportamento da função seno (\(f(x) = \text{sen}(x)\)) para ângulos em radianos.

1. No intervalo \([0, \frac{\pi}{2}]\) (aproximadamente \([0, 1,5708]\)), a função seno é estritamente crescente. Isso significa que, se \(x_1 < x_2\) nesse intervalo, então \(\text{sen}(x_1) < \text{sen}(x_2)\). 2. A função seno atinge seu valor máximo em \(x = \frac{\pi}{2}\), onde \(\text{sen}(\frac{\pi}{2}) = 1\). 3. No intervalo \([\frac{\pi}{2}, \pi]\) (aproximadamente \([1,5708, 3,1416]\)), a função seno é estritamente decrescente. Isso significa que, se \(x_1 < x_2\) nesse intervalo, então \(\text{sen}(x_1) > \text{sen}(x_2)\).

Vamos comparar os valores:

• Comparando \(B = \text{sen}(1,5)\) e \(\text{sen}(\frac{\pi}{2})\): Ambos os ângulos \(1,5\) e \(\frac{\pi}{2}\) estão no intervalo \([0, \frac{\pi}{2}]\), onde a função seno é crescente. Como \(1,5 < \frac{\pi}{2}\), temos que \(\text{sen}(1,5) < \text{sen}(\frac{\pi}{2})\). Portanto, \(B < \text{sen}(\frac{\pi}{2})\).
• Comparando \(A = \text{sen}(1,6)\) e \(\text{sen}(\frac{\pi}{2})\): O ângulo \(\frac{\pi}{2}\) marca o início do intervalo onde o seno decresce, e \(1,6\) está nesse intervalo (pois \(\frac{\pi}{2} \approx 1,5708 < 1,6 < \pi \approx 3,1416\)). Como \(\frac{\pi}{2} < 1,6\) e a função seno é decrescente em \([\frac{\pi}{2}, \pi]\), temos que \(\text{sen}(\frac{\pi}{2}) > \text{sen}(1,6)\). Portanto, \(\text{sen}(\frac{\pi}{2}) > A\), ou \(A < \text{sen}(\frac{\pi}{2})\).
• Comparando \(A = \text{sen}(1,6)\) e \(B = \text{sen}(1,5)\): Sabemos que \(A < \text{sen}(\frac{\pi}{2})\) e \(B < \text{sen}(\frac{\pi}{2})\). Para comparar A e B, precisamos analisar quão próximos os ângulos \(1,5\) e \(1,6\) estão de \(\frac{\pi}{2} \approx 1,5708\). A função seno atinge seu máximo em \(\frac{\pi}{2}\). A distância de \(1,5\) até \(\frac{\pi}{2}\) é \(\approx |1,5 - 1,5708| = 0,0708\). A distância de \(1,6\) até \(\frac{\pi}{2}\) é \(\approx |1,6 - 1,5708| = 0,0292\). Como \(1,6\) está mais próximo de \(\frac{\pi}{2}\) do que \(1,5\), e a função seno é simétrica em termos de forma (embora não em valor exato para distâncias iguais) em torno de seu pico e decresce após \(\frac{\pi}{2}\), o valor de \(\text{sen}(1,6)\) será maior que \(\text{sen}(1,5)\). Ou seja, \(A > B\). (Visualizar o gráfico do seno perto do seu máximo confirma isso: a curva é mais alta em \(x=1,6\) do que em \(x=1,5\) porque \(1,6\) está mais perto do pico em \(\pi/2\)).

Juntando as desigualdades, temos: \(B < A\) e \(A < \text{sen}(\frac{\pi}{2})\). Portanto, a ordem correta é \(B < A < \text{sen}(\frac{\pi}{2})\).

A alternativa que representa esta ordenação é a E.