EsPCEx 2011
O ponto da circunferência x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0 que tem ordenada máxima é
(0, -6)
(-1, -3)
(-1, 0)
(2, 3)
(2, -3)
Resolução
Para encontrar o ponto da circunferência \(x^2 + y^2 + 2x + 6y + 1 = 0\) cuja ordenada (valor de y) é máxima, completamos os quadrados para identificar o centro e o raio.
\[\begin{aligned} x^2 + y^2 + 2x + 6y + 1 &= 0\\ (x^2 + 2x) + (y^2 + 6y) + 1 &= 0\\ (x+1)^2 - 1 + (y+3)^2 - 9 + 1 &= 0\\ (x+1)^2 + (y+3)^2 &= 9 \end{aligned}\]
Assim, a circunferência tem:
- Centro \(C = (-1,-3)\)
- Raio \(r = \sqrt{9}=3\)
O ponto de ordenada máxima é o ponto mais alto da circunferência. Ele está a uma distância igual ao raio, na direção vertical, acima do centro:
\[y_{\text{máx}} = y_C + r = -3 + 3 = 0\]
A abscissa permanece a mesma do centro (pois subimos verticalmente): \(x = -1\).
Portanto, o ponto é \((-1, 0)\), correspondente à alternativa C.
Dicas
Erros Comuns
- Completar quadrados: técnica para reescrever expressões quadráticas na forma \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\).
- Centro e raio: na forma canônica, \(C(a,b)\) é o centro e \(r\) é o raio.
- Ponto mais alto de uma circunferência: tem mesma abscissa do centro e ordenada \(b + r\).
