UEA-Específico Exatas 2017
O polinômio p(x) = x3 + mx2 + nx – 6 é divisível por (x – 1) e (x + 2).
Desse modo, é correto afirmar que o valor de m/n é
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4
1/4
3
3/2
Resolução
O enunciado informa que o polinômio \(p(x)=x^{3}+mx^{2}+nx-6\) é divisível por \((x-1)\) e \((x+2)\). Pelo Teorema do Resto (ou Teorema de Briot–Ruffini), se \((x-a)\) é fator de um polinômio, então \(a\) é raiz desse polinômio. Assim:
- Se \((x-1)\) é fator, então \(x=1\) é raiz → \(p(1)=0\).
- Se \((x+2)\) é fator, então \(x=-2\) é raiz → \(p(-2)=0\).
Calculando cada raiz:
1. Para \(x=1\):
\[ p(1)=1^{3}+m(1)^{2}+n(1)-6=1+m+n-6=m+n-5=0 \Rightarrow m+n=5.\]2. Para \(x=-2\):
\[ p(-2)=(-2)^{3}+m(-2)^{2}+n(-2)-6=-8+4m-2n-6=4m-2n-14=0.\]Dividindo por 2 para simplificar:
\[ 2m-n-7=0 \Rightarrow n=2m-7.\]Substituindo \(n=2m-7\) na equação \(m+n=5\):
\[ m+(2m-7)=5 \Rightarrow 3m-7=5 \Rightarrow 3m=12 \Rightarrow m=4.\]Então:
\[ n=2m-7=2\cdot4-7=8-7=1.\]Logo,
\[ \frac{m}{n}=\frac{4}{1}=4.\]Portanto, a alternativa correta é B.
Dicas
Erros Comuns
Teorema do Resto / Fator
Se \(p(x)\) é um polinômio e \(a\) é um número real, então o resto da divisão de \(p(x)\) por \((x-a)\) é \(p(a)\). Se esse resto for zero, \((x-a)\) é fator de \(p(x)\) e \(a\) é raiz do polinômio.
Sistema de equações
Quando há duas incógnitas (\(m\) e \(n\)) e duas equações lineares, resolvemos por substituição ou eliminação para encontrar os valores numéricos.
