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PUC-PR Verão 2013
O planeta Y possui a mesma densidade “d” que a Terra, porém seu raio é três vezes maior. Considere os planetas esféricos e desconsidere o efeito de rotação dos planetas.
Sabendo que a aceleração da gravidade na Terra vale g, a gravidade do planeta Y (gy) valerá:
Dado: V = 4/3 π.R3
a
g/27
b
g/9
c
9g
d
g
e
3g
Ver resposta
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Resposta
E
Resolução
Para determinar a aceleração da gravidade em um planeta, parte-se da expressão geral\[g = G\dfrac{M}{R^{2}}\]onde
• G é a constante da gravitação universal;
• M é a massa do planeta;
• R é o raio do planeta.
1. Relacionando massa à densidade
A massa pode ser escrita em função da densidade (\(\rho\)) e do volume (\(V\)):
\[M = \rho\,V\]Para uma esfera, \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}\). Assim:
\[M = \rho\,\dfrac{4}{3}\pi R^{3}\]
2. Substituindo em \(g\)
\[g = G\dfrac{\rho\,\dfrac{4}{3}\pi R^{3}}{R^{2}} = \left(G\,\dfrac{4}{3}\pi\rho\right) R\]
Conclui-se que, mantendo-se a mesma densidade, a gravidade superficial é proporcional ao raio:
\[g \propto R\]
3. Aplicando ao planeta Y
Dados do enunciado:
• \(\rho_{Y} = \rho_{T}\) (mesma densidade);
• \(R_{Y} = 3R_{T}\).
Logo:
\[g_{Y} = 3\,g_{T} = 3g\]
Resposta: alternativa (E).
• G é a constante da gravitação universal;
• M é a massa do planeta;
• R é o raio do planeta.
1. Relacionando massa à densidade
A massa pode ser escrita em função da densidade (\(\rho\)) e do volume (\(V\)):
\[M = \rho\,V\]Para uma esfera, \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}\). Assim:
\[M = \rho\,\dfrac{4}{3}\pi R^{3}\]
2. Substituindo em \(g\)
\[g = G\dfrac{\rho\,\dfrac{4}{3}\pi R^{3}}{R^{2}} = \left(G\,\dfrac{4}{3}\pi\rho\right) R\]
Conclui-se que, mantendo-se a mesma densidade, a gravidade superficial é proporcional ao raio:
\[g \propto R\]
3. Aplicando ao planeta Y
Dados do enunciado:
• \(\rho_{Y} = \rho_{T}\) (mesma densidade);
• \(R_{Y} = 3R_{T}\).
Logo:
\[g_{Y} = 3\,g_{T} = 3g\]
Resposta: alternativa (E).
Dicas
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Lembre-se: M = ρV para qualquer corpo.
Substitua M em g = GM/R² para ver como g depende de ρ e R.
Com densidade constante, como g muda se o raio triplica?
Erros Comuns
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Manter a massa constante ao mudar o raio, usando g∝1/R².
Esquecer que densidade igual implica massa diferente.
Fazer contas de maneira inversa, obtendo 1/3 ou 1/9 do valor.
Revisão
Gravidade na superfície de um corpo esférico
• \(g = G\dfrac{M}{R^{2}}\).
• Massa pode ser escrita em função da densidade: \(M = \rho V\).
• Volume da esfera: \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}\).
Quando a densidade é constante, \(g \propto R\). Portanto, dobrar o raio dobra \(g\); triplicar o raio triplica \(g\).
• \(g = G\dfrac{M}{R^{2}}\).
• Massa pode ser escrita em função da densidade: \(M = \rho V\).
• Volume da esfera: \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}\).
Quando a densidade é constante, \(g \propto R\). Portanto, dobrar o raio dobra \(g\); triplicar o raio triplica \(g\).
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