FMJ 2010
O planeta Saturno apresenta um grande número de satélites naturais. Dois deles são Encélado e Titan. Os raios de suas órbitas podem ser medidos em função do raio de Saturno, RS. Dessa forma, o raio da órbita de Encélado vale 4RS e o raio da órbita de Titan vale 20RS. Sendo T(e) e T(t), respectivamente, os intervalos de tempo que Encélado e Titan levam para dar uma volta completa ao redor de Saturno, é correto afirmar que a razão T(t)/T(e) é, aproximadamente, igual a
11,2.
8,4.
5,0.
0,8.
0,2.
Resolução
Para comparar os períodos orbitais dos satélites, usamos a 3ª lei de Kepler, que estabelece que, para corpos que orbitam o mesmo astro, o quadrado do período orbital é proporcional ao cubo do raio da órbita:
\[\frac{T_1^{2}}{T_2^{2}} = \frac{r_1^{3}}{r_2^{3}}\]
No problema:
- Raio da órbita de Encélado: \(r_e = 4R_S\)
- Raio da órbita de Titã: \(r_t = 20R_S\)
Aplicando a lei:
\[\left(\frac{T_t}{T_e}\right)^2 = \left(\frac{r_t}{r_e}\right)^3\]
Substituindo os valores:
\[\left(\frac{T_t}{T_e}\right)^2 = \left(\frac{20R_S}{4R_S}\right)^3 = \left(5\right)^3 = 125\]
Portanto,
\[\frac{T_t}{T_e} = \sqrt{125} \approx 11{,}2\]
Logo, a razão \(T(t)/T(e)\) é aproximadamente 11,2.
Dicas
Erros Comuns
3ª Lei de Kepler: para corpos que orbitam o mesmo centro de atração, vale \(T^2 \propto r^3\). Assim, \(\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^3\).
Como Encélado e Titã orbitam Saturno, basta comparar os raios de suas órbitas e extrair a razão dos períodos.
