EN 2016
O par ordenado (x,y) de números reais, \(x\ \ne\ 0\ e\ y\ \ne\ 0,\) satisfaz ao sistema \(\{ \begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}\\\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{5}{16}\end{matrix}\) em que x é o menor elemento do par.
se \(p=3x+y,\) encontre o termo de ordem \((p+1)\) do binomio \(\( \frac{x^2z}{\sqrt[5]{143}}-y^2 \)^{15}\) e assinale a opção correta.
\(-21x^{10}z^5y^{20}\)
\(21x^5z^{10}y^{20}\)
\(-21x^{10}z^5y^{10}\)
\(21x^{32}z^{10}y^{20}\)
\(21x^{10}z^5y^{20}\)
Resolução
Primeiro, determine x e y.
Sejam \(s=\dfrac1x\) e \(t=\dfrac1y\). O sistema fornecido transforma-se em
\[\begin{cases}s+t = \dfrac34\\[4pt]s^2+t^2 = \dfrac{5}{16}\end{cases}\]
Elevando a primeira equação ao quadrado, obtém-se
\[(s+t)^2 = s^2+2st+t^2 = \frac{9}{16}.\]
Comparando com \(s^2+t^2\):
\[2st = \frac{9}{16}-\frac{5}{16}=\frac{4}{16}=\frac14\quad\Longrightarrow\quad st=\frac18.\]
Assim, \(s\) e \(t\) são raízes de
\[z^2-\frac34z+\frac18=0.\]
Utilizando Bhaskara:
\[z = \frac{\tfrac34\;\pm\;\sqrt{\left(\tfrac34\right)^2-4\cdot\tfrac18}}{2}=\frac{\tfrac34\;\pm\;\tfrac14}{2}=\frac{3\pm1}{8}.\]
Logo \(\{s,t\}=\Bigl\{\tfrac14,\tfrac12\Bigr\}\Rightarrow\{x,y\}=\{4,2\}. Como \(x\) é o menor elemento,
\[x=2,\qquad y=4.\]
Agora calcule \(p\):
\[p = 3x+y = 3\cdot2+4 = 10.\]
Considere o binômio
\[\Bigl(a-b\Bigr)^{15},\quad a=\frac{x^2z}{\sqrt[5]{143}},\;b=y^2.\]
O termo geral é
\[T_{k+1}=\binom{15}{k}a^{15-k}(-b)^k.\]
O termo de ordem \((p+1)=11\) corresponde a \(k=p=10\):
\[T_{11}=\binom{15}{10}a^{5}(-b)^{10}=\binom{15}{10}a^{5}b^{10}\;(\text{pois }(-1)^{10}=1).\]
1. Coeficiente: \(\displaystyle\binom{15}{10}=\binom{15}{5}=3003.\)
2. Potência de a:
\[a^{5}=\left(\frac{x^2z}{\sqrt[5]{143}}\right)^{5}=\frac{x^{10}z^{5}}{143}.\]
3. Potência de b:
\[b^{10}=(y^2)^{10}=y^{20}.\]
Portanto
\[T_{11}=3003\cdot\frac{x^{10}z^5}{143}\,y^{20}=\bigl(3003/143\bigr)x^{10}z^{5}y^{20}.\]
Como \(3003=3\cdot7\cdot11\cdot13\) e \(143=11\cdot13\), temos
\[\frac{3003}{143}=21.\]
Logo
\[T_{11}=21x^{10}z^{5}y^{20}.\]
Resposta: opção E.
Dicas
Erros Comuns
- Sistema em 1/x: Muitas vezes é mais fácil resolver sistemas envolvendo \(\tfrac1x\) do que \(x\) diretamente. Somar e elevar ao quadrado ajuda a conseguir \(st\).
- Equação quadrática: A relação soma-produto (Viète) permite obter as raízes a partir de \(s+t\) e \(st\).
- Teorema do Binômio: Para \((a+b)^n\) o termo \((k+1)\) é \(\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}\). Se o sinal for \((a-b)^n\), aparece \((-1)^k\).
- Potências: \((x^2)^5 = x^{10}\) e o expoente se distribui em numerador e denominador.
