Secretaria de Estado de Planejamento e Gestão do Ceará 2018

Passo 1 – Derivadas de f e de g

• Função \(f(x)=x+\dfrac1x\) (domínio \(\mathbb R\setminus\{0\}\)).
\[f'(x)=1-\frac1{x^{2}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\]

• Função \(g(x)=\dfrac{x-3}{x-2}\). Escrevendo-a como \(g(x)=1-\dfrac1{x-2}\) (domínio \(\mathbb R\setminus\{2\}\)):
\[g'(x)=\frac1{(x-2)^{2}}\]

Passo 2 – Pontos de máximo e mínimo locais

• Para f basta zerar a derivada:

\[f'(x)=0 \;\Rightarrow\; x^{2}-1=0\;\Rightarrow\;x=\pm1\]

Ambos pertencem ao domínio, logo são pontos críticos.
Segunda derivada:

\[f''(x)=\frac{2}{x^{3}}\]

• \(f''(1)=2>0\Rightarrow\;\) mínimo local em \((1,2)\).
• \(f''(-1)=-2<0\Rightarrow\;\) máximo local em \((-1,-2)\).

• Para g: como \(g'(x)=\dfrac1{(x-2)^{2}}>0\) para todo ponto do domínio, não há zero de derivada; portanto, nenhum máximo ou mínimo local.

Passo 3 – Pontos de inflexão

• \(f''(x)=\dfrac{2}{x^{3}}\) nunca se anula; o único ponto em que ela diverge é \(x=0\), fora do domínio. Logo, não há ponto de inflexão.

• Para \(g\):

\[g''(x)=\frac{-2}{(x-2)^{3}}\]

Também nunca zera e só diverge em \(x=2\), que não pertence ao domínio. Portanto, não há ponto de inflexão.

Passo 4 – Contagem total

• Função \(f\): 2 pontos críticos (1 mínimo + 1 máximo).
• Função \(g\): 0 pontos críticos.

Total = 2.

Resposta: alternativa A.