INSPER Tarde 2015/1
O número n de pessoas presentes em uma festa varia ao longo do tempo t de duração da festa, em horas, conforme mostra o gráfico a seguir.
Das opções abaixo, aquela que melhor descreve a função n(t) é
n(t) = −10t2 + 4t + 50.
n(t) = −10t2 + 40t + 50.
n(t) = −10t2 + 4t.
n(t) = −t2 + 40t.
n(t) = −10t2 + 40t.
Resolução
Para encontrar a função \(n(t)\) que melhor descreve o gráfico, vamos analisar as características da curva apresentada. O gráfico representa o número de pessoas \(n\) em função do tempo \(t\) em horas.
1. Identificação do tipo de função: O gráfico tem o formato de uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Isso indica que a função \(n(t)\) é uma função quadrática da forma \(n(t) = at^2 + bt + c\), com \(a < 0\).
2. Identificação dos pontos notáveis:
- Raízes: A parábola intercepta o eixo \(t\) (onde \(n=0\)) nos pontos \(t=0\) e \(t=4\). Portanto, as raízes da função são \(t_1 = 0\) e \(t_2 = 4\).
- Vértice: O ponto mais alto da parábola (vértice) ocorre no ponto médio entre as raízes, ou seja, em \(t_v = (0+4)/2 = 2\). Observando o gráfico, o valor máximo de \(n\) nesse ponto é \(n(2) = 40\). O vértice da parábola é o ponto \((2, 40)\).
- Intercepto y: A parábola passa pela origem \((0, 0)\), o que significa que \(n(0) = 0\). Isso implica que o coeficiente \(c\) na forma \(at^2 + bt + c\) é zero.
3. Determinação da função:
Como as raízes são 0 e 4, podemos escrever a função na forma fatorada: \(n(t) = a(t - t_1)(t - t_2)\).
Substituindo as raízes: \(n(t) = a(t - 0)(t - 4) = a \cdot t \cdot (t - 4) = a(t^2 - 4t)\).
Agora, usamos o vértice \((2, 40)\) para encontrar o valor de \(a\). Sabemos que \(n(2) = 40\).
\(40 = a(2^2 - 4 \cdot 2)\)
\(40 = a(4 - 8)\)
\(40 = a(-4)\)
\(a = 40 / (-4) = -10\)
Substituindo \(a = -10\) na expressão \(n(t) = a(t^2 - 4t)\):
\(n(t) = -10(t^2 - 4t)\)
\(n(t) = -10t^2 + 40t\)
4. Verificação das opções: A função encontrada, \(n(t) = -10t^2 + 40t\), corresponde à opção E.
Alternativamente, poderíamos testar as opções usando os pontos notáveis:
- Verificar \(n(0) = 0\): Opções A e B são eliminadas, pois \(n(0) = 50\) para ambas. Opções C, D e E satisfazem \(n(0)=0\).
- Verificar \(n(4) = 0\):
- Opção C: \(n(4) = -10(4)^2 + 4(4) = -10(16) + 16 = -160 + 16 = -144 \neq 0\). Eliminada.
- Opção D: \(n(4) = -(4)^2 + 40(4) = -16 + 160 = 144 \neq 0\). Eliminada.
- Opção E: \(n(4) = -10(4)^2 + 40(4) = -10(16) + 160 = -160 + 160 = 0\). Correta.
- Verificar \(n(2) = 40\) (opcional, pois a opção E já foi confirmada):
- Opção E: \(n(2) = -10(2)^2 + 40(2) = -10(4) + 80 = -40 + 80 = 40\). Correta.
Portanto, a função que melhor descreve o gráfico é \(n(t) = -10t^2 + 40t\).
Dicas
Erros Comuns
Esta questão aborda o conceito de Funções Quadráticas e sua representação gráfica, a parábola.
Uma função quadrática é definida por \(f(x) = ax^2 + bx + c\), onde \(a\), \(b\) e \(c\) são constantes reais e \(a \neq 0\).
Propriedades importantes:
- Gráfico: O gráfico é uma parábola.
- Concavidade: Se \(a > 0\), a parábola tem concavidade voltada para cima. Se \(a < 0\), a concavidade é voltada para baixo (como no problema).
- Raízes (ou zeros): São os valores de \(x\) para os quais \(f(x) = 0\). Correspondem aos pontos onde a parábola intercepta o eixo \(x\). Podem ser encontradas usando a fórmula de Bhaskara ou fatoração. Se as raízes são \(x_1\) e \(x_2\), a função pode ser escrita como \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\).
- Vértice: É o ponto de máximo (se \(a < 0\)) ou mínimo (se \(a > 0\)) da parábola. As coordenadas do vértice \((x_v, y_v)\) são dadas por \(x_v = -b / (2a)\) e \(y_v = f(x_v) = -\Delta / (4a)\), onde \(\Delta = b^2 - 4ac\). O \(x_v\) também é a média aritmética das raízes: \(x_v = (x_1 + x_2) / 2\).
- Intercepto y: É o ponto onde a parábola intercepta o eixo \(y\). Ocorre quando \(x=0\), então \(f(0) = c\). O ponto é \((0, c)\).
