ACAFE Medicina 2021
O número de soluções da equação 2 cos2(x) − sen(x)= 1 no intervalo [0,2 π] é
2
3
1
nenhum
Resolução
Resolução passo a passo
Queremos resolver, em \([0,2\pi]\), a equação
\[2\cos^{2}(x)-\sen(x)=1.\]
1. Transformar em função de \(\sen(x)\)
Sabe-se que \(\cos^{2}(x)=1-\sen^{2}(x)\). Substituindo:
\[2\bigl(1-\sen^{2}(x)\bigr)-\sen(x)=1.\]
Simplificando:
\[2-2\sen^{2}(x)-\sen(x)=1\quad\Longrightarrow\quad1-2\sen^{2}(x)-\sen(x)=0.\]
Multiplicando por \(-1\):
\[2\sen^{2}(x)+\sen(x)-1=0.\]
2. Resolver a equação quadrática
Faça \(y=\sen(x)\). Então
\[2y^{2}+y-1=0.\]
Discriminante: \(\Delta = 1^{2}-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9\).
Logo
\[y=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{4}=\frac{-1\pm3}{4}.\]
Assim:
- \(y_1=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac12\);
- \(y_2=\dfrac{-1-3}{4}=\dfrac{-4}{4}=-1\).
Portanto
\[\sen(x)=\frac12\quad\text{ou}\quad\sen(x)=-1.\]
3. Encontrar as raízes no intervalo \([0,2\pi]\)
a) \(\sen(x)=\dfrac12\)
Em uma volta completa, isso ocorre em
\[x=\frac{\pi}{6},\;\frac{5\pi}{6}.\]
b) \(\sen(x)=-1\)
O seno vale \(-1\) em
\[x=\frac{3\pi}{2}.\]
4. Contagem das soluções
As três raízes distintas no intervalo pedido são:
\[x=\frac{\pi}{6},\;\frac{5\pi}{6},\;\frac{3\pi}{2}.\]
Logo, a equação possui 3 soluções.
Alternativa correta: B.
Dicas
Erros Comuns
- Identidade fundamental trigonométrica: \(\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1\) ⇒ \(\cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x)\).
- Equações trigonométricas: muitas vezes convertem-se todas as funções para seno ou cosseno, permitindo reduzir o problema a uma equação algébrica.
- Equação quadrática: \(ax^{2}+bx+c=0\) resolvida por fórmula de Bhaskara ou fatoração.
- Valores notáveis do seno em \([0,2\pi]\): \(\sin(x)=\frac12\) em \(\pi/6,\;5\pi/6\); \(\sin(x)=-1\) em \(3\pi/2\).
