clear
UECE 2018
O número de divisores inteiros e positivos do número 20182 - 20172 é
a
8.
b
14.
c
10.
d
12.
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Resposta
A
Tempo médio
1 min
Resolução
\[2018^{2}-2017^{2}=\left(2018-2017\right)\left(2018+2017\right)=1\cdot 4035=4035\]\n
\nFatora-se \(4035\):\n
\nPara um número \(N=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{k}^{a_{k}}\), o total de divisores positivos é \((a_{1}+1)(a_{2}+1)\dots(a_{k}+1)\).\n
\nAssim,\n\[d(4035)=(1+1)(1+1)(1+1)=2\times2\times2=8.\]\nPortanto, existem 8 divisores inteiros e positivos.
Resposta: alternativa A.
\nFatora-se \(4035\):\n
- \n
- É múltiplo de 5: \(4035 = 5\times 807\). \n
- \(807\) é múltiplo de 3: \(807 = 3\times 269\). \n
- \(269\) é primo. \n
\nPara um número \(N=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{k}^{a_{k}}\), o total de divisores positivos é \((a_{1}+1)(a_{2}+1)\dots(a_{k}+1)\).\n
\nAssim,\n\[d(4035)=(1+1)(1+1)(1+1)=2\times2\times2=8.\]\nPortanto, existem 8 divisores inteiros e positivos.
Resposta: alternativa A.
Dicas
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Use a identidade (a²−b²)=(a−b)(a+b).
Não é necessário calcular 2018² nem 2017².
Depois de fatorar o produto, lembre-se da fórmula (a₁+1)(a₂+1)… para contar divisores.
Erros Comuns
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Calcular explicitamente 2018² e 2017², aumentando chance de erro aritmético.
Esquecer de aplicar a diferença de quadrados.
Ignorar o fator primo 269 na fatoração de 4035.
Contar divisores negativos ou o zero.
Revisão
- Diferença de quadrados: \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\).
- Fatoração em primos: decompor o número em fatores primos para identificar expoentes.
- Número de divisores: se \(N=\prod p_{i}^{a_{i}}\), então \(d(N)=\prod(a_{i}+1)\).
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