UERN 2015
O nono termo de uma progressão geométrica A, de razão q, é 1.792 e seu quarto termo é 56.
Dessa forma, o quarto termo de outra progressão geométrica, B, com razão q + 1 e cujo primeiro termo é igual ao primeiro termo da progressão A, é
189.
243.
729.
946.
Resolução
Seja \(a_1\) o primeiro termo da progressão geométrica A e \(q\) sua razão.
Dados do enunciado:
- Nono termo: \(a_9 = a_1 q^{8} = 1792\).
- Quarto termo: \(a_4 = a_1 q^{3} = 56\).
Dividindo as duas expressões para eliminar \(a_1\):
\[\frac{a_9}{a_4}=\frac{a_1 q^{8}}{a_1 q^{3}} = q^{5}=\frac{1792}{56}=32=2^{5}.\]
Portanto \(q^{5}=2^{5}\;\Rightarrow\;q=2\).
Agora calcule \(a_1\):
\[a_1 = \frac{a_4}{q^{3}} = \frac{56}{2^{3}}=\frac{56}{8}=7.\]
Considere a progressão geométrica B, cujo primeiro termo é \(a_1=7\) e razão \(q+1 = 2+1 = 3\).
O quarto termo de B é
\[b_4 = a_1 (q+1)^{3}= 7\cdot 3^{3}=7\cdot 27 = 189.\]
Logo, o quarto termo da PG B é 189.
Dicas
Erros Comuns
Termo geral da PG: \(a_n = a_1 q^{n-1}\) (\(a_1\) primeiro termo, \(q\) razão).
Operações entre termos: Dividindo dois termos da mesma PG, os \(a_1\) se cancelam, restando apenas uma potência de \(q\).
Potências: Igualar potências de mesma base facilita encontrar o valor de \(q\).
Construção de nova PG: Mantendo o primeiro termo e alterando a razão (aqui para \(q+1\)), basta aplicar o termo geral novamente.
