FUVEST 2005

Para resolver esta questão, precisamos encontrar o menor número inteiro positivo que, somado a 987, resulta em um quadrado perfeito.

Um quadrado perfeito é um número que é o resultado da multiplicação de um número inteiro por si mesmo. Por exemplo, 9 é um quadrado perfeito porque \(3^2 = 9\), e 16 é um quadrado perfeito porque \(4^2 = 16\).

Primeiro, vamos encontrar o número inteiro cujo quadrado está mais próximo de 987, mas é maior que 987.

Podemos estimar a raiz quadrada de 987:

• Sabemos que \(30^2 = 900\).
• E \(31^2 = 31 \times 31 = 961\).
• E \(32^2 = 32 \times 32 = 1024\).

Observamos que 987 está entre \(31^2\) (961) e \(32^2\) (1024). Como queremos que a soma seja um quadrado perfeito, e estamos adicionando um número positivo a 987, o resultado deve ser maior que 987.

O primeiro quadrado perfeito maior que 987 é \(32^2 = 1024\).

Agora, precisamos encontrar o número que devemos adicionar a 987 para obter 1024. Seja \(x\) esse número.

Então, \(987 + x = 1024\).

Para encontrar \(x\), subtraímos 987 de 1024:

\(x = 1024 - 987\)

\(x = 37\)

Portanto, o menor número inteiro positivo que devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é 37.

Verificação: \(987 + 37 = 1024\), e \(\sqrt{1024} = 32\), que é um número inteiro positivo.