UECE 2018
Resolução
Precisamos que \(n!\) seja múltiplo de \(10\,000\).
Como \(10\,000 = 10^4 = 2^4\,5^4\), basta garantir que o fatorial contenha pelo menos quatro fatores 2 e quatro fatores 5.
Fatores 2 sobram em qualquer fatorial relativamente pequeno, portanto o fator limitante sempre será o 5.
Passo 1 – contar quantos 5 aparecem em \(n!\)
A quantidade de fatores 5 em \(n!\) é dada por
\[v_5(n!) = \left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{25}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n}{125}\right\rfloor + \dots\]
Queremos \(v_5(n!) \ge 4\).
Passo 2 – testar valores mínimos
- \(n = 15\): \(\lfloor15/5\rfloor = 3\). Só 3 fatores 5. Insuficiente.
- \(n = 20\): \(\lfloor20/5\rfloor = 4\). Quatro fatores 5. \(v_5=4 \ge 4\). Suficiente.
Logo, \(n=20\) já garante 4 cincos, e, consequentemente, há muito mais que 4 doses de 2.
Conclusão
O menor inteiro positivo que satisfaz a condição é
\(\boxed{20}\)
Dicas
Erros Comuns
Fatorial \(n!\): produto dos inteiros de 1 a \(n\).
Fatoração de potências de primos em \(n!\): usa-se a soma de partes inteiras \(\lfloor n/ p^k \rfloor\) para encontrar quantas vezes o primo \(p\) aparece.
Mínimo múltiplo: para que \(n!\) seja divisível por \(a\), seu fatorial precisa conter todos os fatores primos de \(a\) com potências iguais ou maiores.
