FUVEST 1981

Queremos o conjunto dos pontos P\((x,y)\) tais que a distância até a reta \(y=0\) seja igual à distância até a circunferência \(x^{2}+(y-2)^{2}=1\).

1. Distâncias envolvidas

• Distância de P à reta \(y=0\): \(d_{r}=|y|\).
• Distância de P à circunferência de centro \(C=(0,2)\) e raio 1:
  \(d_{c}=\big|\,\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}-1\big|\).
  A raiz fornece a distância ao centro; subtrair 1 dá a distância até a circunferência.

O lugar geométrico é definido por

\[|y| = \big|\,\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}-1\big|.\]

2. Eliminando valores absolutos

Como \(|y|\ge 0\), basta estudar o semiplano \(y\ge 0\) (para \(y<0\) a igualdade não se satisfaz, pois o lado direito é sempre não‐negativo). Duas possibilidades:

a) P fora (ou sobre) a circunferência

Nesse caso \(\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}\ge 1\) e

\[y = \sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}-1.\]

Somando 1 em ambos os lados e elevando ao quadrado:

\[(y+1)^{2} = x^{2}+(y-2)^{2}.\]

Desenvolvendo:

\[y^{2}+2y+1 = x^{2}+y^{2}-4y+4\]

\[6y-3 = x^{2}\quad\Rightarrow\quad y = \dfrac{x^{2}+3}{6}.\]

Trata‐se de uma parábola de eixo vertical, vértice em \((0,\tfrac{1}{2})\).

b) P dentro da circunferência

Agora \(\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}\le 1\) e

\[y = 1 - \sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}.\]

Reescrevendo e elevando ao quadrado:

\[(y-1)^{2} = x^{2}+(y-2)^{2}.\]

Expansão:

\[y^{2}-2y+1 = x^{2}+y^{2}-4y+4\]

\[x^{2} = 2y-3\quad\Rightarrow\quad y = \dfrac{x^{2}+3}{2}.\]

Ainda é uma parábola do mesmo eixo, mas válida apenas quando \(x^{2}\le 1\) (condição de ponto interno à circunferência).

3. Conclusão

Em ambos os casos, o lugar geométrico é (partes de) parábolas com eixo vertical. Portanto, a figura característica do conjunto pedido é uma parábola.

Alternativa correta: E