FPP Inverno Medicina 2019
O logaritmo natural é o logaritmo de base e, em que e é um número irracional aproximadamente igual a 2,718281828459045... chamado de número de Euler. O logaritmo natural ou neperiano é definido para todos os números reais estritamente positivos. O gráfico da função y = ln x é representado abaixo.
O valor da soma das áreas dos dois retângulos hachurados é:
Dados: log 2 ≅ 0,3
log 3 ≅ 0,5 e log10 e = 0,4
2
In2
1,6
1
0,4
Resolução
Observe que cada retângulo tem largura igual a 1 unidade na direção do eixo x:
- 1º retângulo: vai de x = 2 a x = 3.
- 2º retângulo: vai de x = 3 a x = 4.
As alturas são dadas pelo valor da função \(y = \ln x\) no extremo esquerdo de cada intervalo:
- Altura do 1º: \(\ln 2\).
- Altura do 2º: \(\ln 3\).
Assim, as áreas são
\[A_1 = (3-2)\, \ln 2 = \ln 2,\qquad A_2 = (4-3)\, \ln 3 = \ln 3.\]
Soma das áreas:
\[A_1 + A_2 = \ln 2 + \ln 3 = \ln(2\cdot 3)=\ln 6.\]
Para obter o valor numérico, usa-se a mudança de base: \(\ln x = \dfrac{\log_{10} x}{\log_{10} e}\). Dados:
\[\log 2 \approx 0{,}3,\; \log 3 \approx 0{,}5,\; \log_{10}e = 0{,}4.\]
Então
\[\ln 2 = \frac{0{,}3}{0{,}4}=0{,}75,\qquad \ln 3 = \frac{0{,}5}{0{,}4}=1{,}25.\]
Soma:
\[0{,}75+1{,}25 = 2.\]
Logo, a soma das áreas é 2.
Resposta: A
Dicas
Erros Comuns
1. Função logarítmica natural
\(\ln x\) é definida para \(x>0\) e é crescente.
2. Área de retângulo
Área = base × altura.
3. Mudança de base de logaritmos
\[\ln x = \frac{\log_{10}x}{\log_{10} e}.\]
4. Propriedade do logaritmo
\(\ln a + \ln b = \ln(ab)\).
