Ministério da Defesa - Aeronáutica 2022
O gráfico abaixo representa a função real f(x) = a + b⋅e−x , em que a e b ∈ IR, e é o número de Eüler e a reta tracejada é a assíntota ao gráfico de f.
Considere que f é invertível e que ℓ𝑛 corresponde ao logaritmo na base e
A função inversa de f, denotada por f −1 , é
f −1 (x) = −𝓁𝑛 (2x + 4)
f −1 (x) = 𝓁𝑛 (x + 4)−1
f −1 (x) = −𝓁𝑛 (−2x + 4)
f −1 (x) = 𝓁𝑛 (−x + 4)−1
Resolução
Seja \(f(x)=a+be^{-x}\). Para determinar \(a\) e \(b\) usamos duas informações extraídas do gráfico:
- Ponto sobre o eixo y: a curva passa por \((0,-1{,}5)\). Logo
\[f(0)=a+b=-1{,}5.\] - Raiz indicada: a curva corta o eixo x em \(x=\ln\frac14\). Assim
\[f\!\left(\ln\frac14\right)=0.\]
Computemos a segunda equação:
\[0=a+b\,e^{-\ln (\tfrac14)}=a+b\,e^{\ln4}=a+4b.\]
Dois sistemas simples:
Subtraindo as equações ou resolvendo por substituição:
- \(a=-2\)
- \(b=\dfrac{-a}{4}=\dfrac{-(-2)}{4}=\tfrac12\)
Portanto
\[f(x)=-2+\tfrac12\,e^{-x}.\]
Encontrando a inversa
Tomando \(y=f(x)\):
\(y=-2+\tfrac12\,e^{-x}\)
\(y+2=\tfrac12\,e^{-x}\)
\(2(y+2)=e^{-x}\)
\(\ln[2(y+2)]=-x\)
\(x=-\ln[2(y+2)].\)
Invertendo os papéis de \(x\) e \(y\):
\[f^{-1}(x)=-\ln\bigl(2(x+2)\bigr)= -\ln(2x+4).\]
A alternativa correta é a A.
Dicas
Erros Comuns
1. Função exponencial deslocada
Modelos do tipo \(f(x)=a+be^{cx}\) mantêm a forma geral da exponencial e apresentam assíntota horizontal em \(y=a\).
2. Obtenção de parâmetros a partir do gráfico
Valores de interseção com os eixos e assíntotas fornecem equações simples para determinar constantes desconhecidas.
3. Inversão algébrica
Para achar \(f^{-1}\): (i) troque \(f(x)\) por \(y\); (ii) isole \(x\); (iii) troque \(x\leftrightarrow y\).
4. Logaritmo natural
\(\ln\) é o logaritmo na base \(e\). Propriedades: se \(e^{k}=M\) então \(\ln M=k\); e \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\).
