INSPER Tarde 2012/1

A questão pede para identificar a função V(t) que melhor representa as vendas bimestrais de sorvete, considerando duas características observadas:

1. Oscilação anual: As vendas oscilam ao longo do ano (6 bimestres), com períodos de crescimento e queda. Isso sugere a presença de uma componente periódica na função, provavelmente trigonométrica (seno ou cosseno).
2. Aumento da média anual: A média das vendas dos seis bimestres de um ano aumenta a cada ano. Isso sugere a presença de uma componente de crescimento contínuo ao longo do tempo, como uma função linear ou polinomial crescente.

Vamos analisar o gráfico para confirmar e detalhar essas observações:

• Oscilação: Observamos que os pontos sobem e descem repetidamente. Por exemplo, do bimestre 1 ao 3, as vendas aumentam, depois caem até o bimestre 5 ou 6. Esse padrão se repete nos bimestres 7-12 e 13-18. O ciclo completo parece ocorrer a cada 6 bimestres (1 ano). Isso confirma a necessidade de uma função periódica com período P = 6. Para funções do tipo \( A \cos(kt) \) ou \( A \sin(kt) \), o período é \( P = \frac{2\pi}{|k|} \). Portanto, precisamos de \( 6 = \frac{2\pi}{|k|} \), o que implica \( |k| = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \). As funções trigonométricas nas opções A, B e C têm o argumento \( \frac{\pi t}{3} \), o que corresponde ao período correto de 6 bimestres.
• Tendência de Aumento: Comparando os níveis gerais de vendas ano a ano (bimestres 1-6 vs 7-12 vs 13-18), notamos que os pontos estão progressivamente mais altos. A "linha média" em torno da qual as vendas oscilam está subindo com o tempo. Isso confirma a necessidade de uma componente de crescimento na função.

Agora, vamos avaliar as opções:

• A: \( V = 100 \cdot \cos\frac{\pi t}{3} \) - Esta função tem a oscilação correta (período 6), mas não possui uma componente de crescimento. O valor médio de \( \cos \) ao longo de um período é zero, então a média das vendas seria constante (em torno de zero, neste caso), o que contradiz a segunda observação.
• B: \( V = 100 \cdot \left(t + 2\cos\frac{\pi t}{3}\right) = 100t + 200\cos\frac{\pi t}{3} \) - Esta função combina uma componente linear crescente (\( 100t \)) com uma componente oscilatória (\( 200\cos\frac{\pi t}{3} \)) de período 6. A componente \( 100t \) garante que a média das vendas aumente com o tempo (a "linha média" da oscilação é \( y=100t \), que é crescente), e a componente \( 200\cos\frac{\pi t}{3} \) garante a oscilação sazonal. Esta função satisfaz ambas as condições observadas.
• C: \( V = 100 \cdot \left(\sin\frac{\pi t}{3} + \cos\frac{\pi t}{3}\right) \) - Esta função é uma combinação de seno e cosseno com o mesmo período (6). Ela pode ser reescrita como uma única função trigonométrica com amplitude e fase diferentes (\( V = 100\sqrt{2} \cos(\frac{\pi t}{3} - \frac{\pi}{4}) \), por exemplo). Assim como a opção A, ela é puramente oscilatória e não possui uma componente de crescimento. A média das vendas seria constante.
• D: \( V = 100 \cdot (t + 2) = 100t + 200 \) - Esta é uma função linear. Ela representa um crescimento constante ao longo do tempo, satisfazendo a segunda condição (aumento da média). No entanto, ela não apresenta nenhuma oscilação, contradizendo a primeira observação.
• E: \( V = 100 \cdot t^2 + 2 \) - Esta é uma função quadrática. Para \( t > 0 \), ela representa um crescimento (acelerado) ao longo do tempo, satisfazendo a segunda condição. Contudo, assim como a opção D, ela não apresenta oscilação, contradizendo a primeira observação.

Portanto, a única função que representa tanto a oscilação anual (com período de 6 bimestres) quanto o aumento da média das vendas ano a ano é a da opção B.